برهان. چون ن اشتf سره است در اینصورت خطLf خارج از درون مربع □ قرار م گیرد. بنابراین طبق جمله۴ قضیه ١٠.١.۴ ن اشتf ی بهی است.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
لم ۴.٢.۴. فرض م کنیم ن اشتf ، ی ن اشت دوآفین ناتبه ن باشد که روی □ ی بهی است و فرض م کنیم□ ⊆W مستطیل با اضلاع موازی با محورهایx وy و قطر به طول (ρ(W باشد. علاوه بر اینها فرض م کنیم
(ρ۱(W و (ρ۲(W طولهای دو قطر (f(W باشند و
.
اگر ۰W مستطیل باشد که ماکزیمم شده (۰M(ρ است، آن اه ۰W و □ ی رأس مشترک دارند.
برهان. اگر ی ضلع ۰W روی خط ۰=x یا ۱=x قرار گیرد و ضلع دی ر آن، روی خط ۰=y یا ۱=y باشد، آن اه اثبات کامل م شود. اکنون بدون کاستن از کلیت مسأله، فرض م کنیم که ۰W ضلع که روی ۰=x یا ۱=x قرار گیرد، نداشته باشد. فرض م کنیم ۰V مستطیل کراندار باشد که به وسیله خطوط ۰=x = ۱ ،x و خطهای که اضلاع بالای و پایین ۰W را تعیین م کنند، ایجاد شده باشد. فرض م کنیمA,B,C,D رئوس(۰f(V باشند. در اینصورت با بهره گرفتن از رابطه (۴.٢)،α وجود دارد بهطوریکه چهار رأس (۰f(W عبارتند از
(۱ − α)A + αB,(1 − α − ∆)A + (α + ∆)B,(1 − α − ∆)C + (α + ∆)D,(1 − α)D + αC
۴۶
که ∆ طول افق ۰W م باشد.زمان کهα بین ۰ و ۰α تغییر م کند، مستطیل ۰W به سمت راست یا به سمت چپمنتقل م شود، یا بهعبارت از ب نهایت ضلع چپ □ تا ب نهایت ضلع راست □ جابهجا م شود. طول قطرهای(۰f(W برابر |U1 +(B+C −A−D)α | و |U2 +(B+C −A−D)α | است که بردارهای ۱U و ۲U وابسته به∆A,B,C,D, هستند. زمان که ۰α ≤ α ≤ ۰، مقادیرU1 +(B +C −A−D)α وU2 +(B +C −A−D)α
قطعات از ی خط را توصیف م کنند. بنابراین ماکزیمم |U1+(B+C−A−D)α | و |U2+(B+C−A−D)α |در انتهای خط رخ م دهد. یعن جای مقدار ماکزیمم وجود دارد که ۰=α یا ۰α = α، و این با فرض خلف که
۰W ضلع که روی خطوط ۰=x یا ۱=x قرار ب یرد ندارد در تناقض است.
قضیه ۴.٢.۵. فرض کنید
f(x,y) = p0 + (p1 − p0)x + (p3 − p0)y + (p2 + p0 − p1 − p3)xy.
ی ن اشت دوآفین ناتبه ن سره باشد. اگر ۱s < ≤ ۰ وجود داشته باشد بهطوریکه
|
pi+1 − pi |≤ s, | pi+2 − pi |≤ √۲s, | pi+1 + pi−۱ − ۲pi |≤ √۲s
برای ۳,۲,۱,۰=i ، آن اه ن اشتf روی □ انقباض است.
برهان. با توجه به پیوست ن اشتf و فشردگ □، کافیست نشان دهیم که ۱s < ≤ ۰ وجود دارد بهطوریکه. | (′f(x,y) − f(x′,y′) |≤ s | (x,y) − (x′,y |
فرض م کنیم ۰W مستطیل باشد که قطر آن بخش از خط است که (x,y) و (′x′,y) را به هم وصل م کند. باتوجه به لم ٣.٢.۴، تابعf روی □، ی بهی است و با توجه به لم ، مقدار
,
