برای .
( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
برای .
یا با بهره گرفتن از تفاضل‌های یک طرفه که جملات بیشتری را برای در بر می‌گیرند، به صورت زیر نوشته می‌شوند:
مرتب‌سازی عبارت‌ها و اندیس‌ها، فرمول تقریبی زیر را برای فراهم می کند:
که یک معادله دیفرانسیل از مرتبه دوم است و مثالی از فرمول دیفرانسیلی عقب‌گرد است.
شبکه
در اینجا هر دو محور و گسسته‌سازی می‌شوند. زیرا اگر تنها یکی از آنها را گسسته نمائیم ما یک شبه گسسته‌سازی بدست می‌آوریم که به صورت خط‌های موازی گسسته شده هستند.
حال فرض نمائید که ، و اندازه‌های تور از تفاضل‌های و باشند بنابراین گام‌ها در به صورت انتخاب می‌شود که درآن و یک عدد صحیح مناسب است. گسسته سازی کمی متفاوت و پیچیده‌تر است. در بازه قرار دارد که بایستی این بازه نا‌متناهی با یک بازه متناهی جایگزین شود. بنابراین و باید به نحوی انتخاب شوند که و باشد. بنابراین یک بازه با خصوصیات مناسب برای تقریب است. برای عدد صحیح اندازه گام‌ها در به صورت تعریف می‌شود.
سایر علائم اضافی برای شبکه به صورت زیر تعریف می‌شوند:
۱-
۲-
۳-
۴- یک تقریب برای است.
تعریف‌های فوق از شبکه یکنواخت دو بعدی در شکل (۲-۵) توضیح داده شده است.
-جزئیات و علائم شبکه
بایستی توجه نمود که شبکه‌سازی برای و است نه برای و . تبدیل شبکه از توسط تبدیل‌های (۲-۳۸) به انجام شود.
نقاطی که خط‌های شبکه و همدیگر را قطع می‌نمایند، گره نامیده می‌شوند. در مقابل با که روی پیوستگی تعریف می‌شود تنها روی گره‌ها تعریف می‌شود. خطای - تنها به انتخاب پارامترهای ، ، و بستگی دارد. حال با توجه به مبانی فوق به توضیح روش های دیفرانسیل متناهی می‌پردازیم.
روش صریح:
از جایگزینی معادلات زیر
در (۲-۳۷) و چشم‌پوشی از جملات خطا، به عبارت زیر برای تقریب می‌رسیم:
از حل (۲-۵۳) برای داریم:
با تعریف داریم:
شکل زیر گره‌های متصل شده توسط فرمول را نشان می‌دهد.
-طرح اتصالی از روش صریح
چنین شکلی که ساختار معادله را توضیح می‌دهد مولکولی نامیده می‌شود.
معادله (۲-۵۵) و شکل (۲-۶) یک ارزیابی سازماندهی شده توسط سطوح زمانی را پیشنهاد می‌دهد. همه گره‌ها با اندیس یکسان ، امین سطح زمانی را تشکیل می‌دهند. برای یک ثابت، مقادیر برای همه ها با سطح زمانی محاسبه می‌شوند. بنابراین ما به مرحله زمانی جلو می‌رویم. فرمول (۲-۵۵) یک بیان صریح برای هر است و مقادیر در سطح به همدیگر همبسته نیستند چون معادله (۲-۵۵) یک فرمول صریح برای همه ( ) فراهم می‌نمائید. این روش، روش صریح یا روش دیفرانسیل پیشرو نامیده می‌شود. برای مقادیر را توسط شرایط اولیه بدست می‌آوریم:
برای و از رابطه (۲-۴۳) و (۲-۴۴) و برای همه توسط شرایط مرزی فیکس می‌شوند. موقتا فرض می کنیم که .
برای تحلیل‌های بعدی مقادیر را در سطح زمانی به صورت بردار زیر نشان می‌دهیم:
مرحله بعدی در حرکت به علائم برداری از روش صریح، معرفی ماتریس ثابت مثلثی است
اکنون روش صریح در فرم ماتریسی به صورت زیر نوشته می‌شود.
روش ضمنی[۷۰]
در روش صریح مشتفات زمانی را با یک دیفرانسیل پیشرو تخمین زدیم در روش ضمنی از دیفرانسیل عقب‌گرد استفاده می‌کنیم
که به جای رابطه (۲-۵۵) رابطه زیر را می‌دهد:
معادله (۲-۶۰) سطح زمانی را به سطح زمانی ربط می‌دهد. برای انتقال از به تنها سطح در سمت چپ از معادله (۲-۶۰) قابل شناسایی است در حالی که سمت راست معادله دارای سه مقدار مجهول است که نیاز به محاسبه داریم. معادله (۲-۶۰) سه مجهول را به هم ارتباط می‌دهد.که ساختار مولکولی متناظر با آن در شکل (۲-۷) نمایان است.
-ساختار مولکولی روش ضمنی
هیچ فرمول ساده صریح وجود ندارد که مجهول‌ها بتواند یکی پس از دیگری محاسبه شوند. بیشتر باید یک سیستم در نظر گرفته شود (یعنی همه معادلات به صورت همزمان). یک فرم ماتریسی که ساختار (۲-۶۰) را آشکار می کند.
