(۱-۲)

منحنی لورنز دارای خصوصیات متفاوتی است که در اینجا به ۲ ویژگی آن اشاره میکنیم.
فاصله بین منحنی و خط برابری کامل، در سطح درآمدی برابر با میانگین درآمد جامعه به حداکثر می­رسد، این فاصله “حداکثر شکاف درآمدی” نامیده می­ شود که خود یکی از شاخص­ های نابرابری توزیع شمرده می­ شود.
وقتی دو توزیع درآمد را با یکدیگر مقایسه می­کنیم، چنانچه دو منحنی لورنز همدیگر را قطع نکنند و منحنی توزیع اول کاملاً در داخل منحنی توزیع دوم قرار گیرد، بدون هیچگونه ابهامی می­توان نتیجه گرفت که توزیع درآمد اول از درآمد دوم برابرتر است. (همان منبع، ۱۳۷۱، ۱۸)^[۱۲].
۲-۲-۳-۲ ضریب جینی
این ضریب مشهورترین و متداولترین شاخص اندازه ­گیری نابرابر توزیع درآمد می­باشد که میزان نابرابری را بر اساس منحنی لورنز محاسبه و به صورت یک عدد ارائه می­ کند. از نظر ترسیمی این ضریب برابر است با:

(۲-۲)

از آنجا که مساحت مربع برابر با واحد است. پس ضریب جینی به­ صورت دو برابر مساحت بین منحنی لورنز و خط برابری کامل تعریف می­ شود. برای به­دست آوردن ضریب جینی روش­های بسیاری ارائه گردیده است. از جمله روش مورگان و میلر^[۱۳] و نیز روش گاست ویرث۳.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

فرمول میلر که برای برآورد ضریب جینی از داده ­های طبقه ­بندی شده بسیار مناسب و مشهور است عبارت است از:

(۳-۲)

که در آن:
G: ضریب جینی
: نسبت تمعی افراد(خانوارها)در طبقه i ام
: نسبت تجمعی درآمد در طبقه i ام (kو…و۲و۱=i)
در روش پیشنهادی"گاست ویرث” حدود تحتانی و فوقانی ضریب جینی محاسبه می­ شود که ضریب جینی بین این دو واحد قرار می­گیرد. حد تحتانی با این فرض که درآمدها در هر طبقه به­ طور مساوی تقسیم شده ­اند، محاسبه می­ شود که فرمول آن دقیقاً همان فرمول (میلر) می­باشد و حد فوقانی با این فرض که اختلاف درآمدها در هر طبقه درآمدی حداکثر است، به­دست می ­آید .
ضریب جینی همیشه بین صفر(برابری کامل) و یک (نابرابری کامل) تغییر می­ کند. این ضریب برای کشورهایی که توزیع درآمد نسبتاً عادلانه دارند بین ۲/۰ تا ۳۵/۰است در حالی که برای کشورهای با توزیع درآمد بسیار نابرابر عموماًبین ۵/۰ تا ۷/۰ می­باشد.
گرچه این ضریب، شاخص ساده و بسیار متداول اندازه ­گیری نابرابری درآمد است و اکثر ویژگی­های گفته شده در صفحه (ویژگی های شاخص نابرابری) را تأمین می­ کند، اما همچون هر شاخص نابرابری، دارای ایراداتی نیز می­باشد از جمله اینکه:
اصل حساسیت نسبی را تأمین نمی­کند و نسبت به تغییرات درصدی کوچک که می ­تواند به معنای انتقال مقدار زیادی درآمد به گروه ­های پائین درآمدی باشد، حساسیت زیادی ندارد. (هاشم، ۱۹۷۴، ۸)^۱.
تا آنجا که منحنی لورنز دو یا چند توزیع درآمد، همدیگر را قطع نکنند، این ضریب معیار مناسبی برای رتبه ­بندی توزیع درآمدهاست، لکن در صورتی که منحنی لورنز دو یا چند توزیع هم­دیگر را در یک یا چند نقطه قطع کنند، ضریب جینی ممکن است رتبه بندی نادرستی را (با توجه به قضاوت­ها و ملاک­های ارزشی مربوط به نابرابری درآمد) به­دست دهد و یا اندازه این شاخص برای دو یا چند توزیع درآمد متفاوت، یکسان و برابر باشد.
برای مثال، دو توزیع درآمد با وضعیت کاملاً متفاوت را می­توان دید که هر دو ضریب جینی یکسان دارند و یا همانطور که آتکینسون در سال ۱۹۸۰ نشان داده است، اگر منحنی لورنز را برای دو کشور انگلستان و آلمان غربی با معیار ضریب جینی با یکدیگر مقایسه کنیم، نتیجه می­گیریم درجه نابرابری درآمدهای پائین آلمان از انگلستان کمتر و بر عکس میزان نابرابری درآمدهای بالای آلمان به مراتب از انگلستان بیشتر است. بنابراین ضریب جینی قادر نیست اختلاف نابرابری توزیع درآمد در سطوح مختلف را مشخص کند. (صمیمی، ۱۳۷۱، ۴)^۲.
۳-۲-۳-۲ شاخص تیل
این شاخص که به شاخص “انتروپی­تیل^[۱۴]” معروف است، از فرمول ذیل محاسبه می­ شود:
می­باشد. شاخص تیل در حالت برابری کامل توزیع درآمد مساوی صفر و در حالت نابرابری کامل برابرn log می­باشد یعنی ۰≤T≤n log. لذا اندازه شاخص مستقل از افراد جامعه نیست و برای مقایسه توزیع درآمدهای مختلف بر اساس این شاخص، باید تعداد افراد (یا خانوار) آن توزیع­ها با یکدیگر برابر باشند. برای محدود نمودن دامنه تغییرات این شاخص بین صفر و یک می­توان از رابطه تبدیلیt/log  استفاده کرد. لکن باید در نظر داشت که این تبدیل مفهوم نابرابری مورد اندازه ­گیری شاخص تیل را تا حدی تغییر می­دهد و تجزیه­پذیری شاخص تیل را ناممکن می­سازد. (ابوالفتحی قمی، ۱۳۷۱، ۵۷)^۲.
۴-۲-۳-۲ سهم چندک­ها و شاخص­ های مبتنی بر آنها
در بررسی­های تجربی توزیع درآمد، برای ارائه تصویری ساده، صریح و نیز کاملاً ملموس از چگونگی توزیع درآمد بین افراد یک جامعه معمولاً از چندک­ها استفاده می­ شود. چندک­هایی که بیشتر به­کار گرفته می­شوند عبارتند از: دهک­ها^۳ (هر دهک ده درصد افراد جامعه را شامل می­ شود). پنجک­ها۴ (هر پنجک، بیست درصد افراد جامعه را در بر می­گیرد). و چارک­ها۵ (هر چارک، بیست و پنج درصد افراد جامعه را در بر می­گیرد). ضمناض در غالب بررسی­های توزیع درآمد، از حالت ادغام شده و گسترده چندک­ها مانند سهم ۴۰ درصد افراد کم­درآمد، ۴۰ درصد افراد دارای درآمد متوسط و ۲۰ درصد افراد پردرآمد، استفاده می­ شود.
در صورتی که داده ­های آماری درآمد کلیه افراد جامعه در اختیار باشد، با مرتب کردن صعودی افراد جامعه بر حسب درآمد، به­سادگی می­توان چندک مورد نظر را برآورد کرد که در این­صورت چندک شامل فقیرترین افراد جامعه و آخرین چندک در برگیرنده ثروتمندترین آن افراد خواهد بود.
چندک­ها هر چند برداشت ساده و قابل درکی از الگوی توزیع درآمد به­دست می­ دهند و در بررسی­های توزیع درآمد به آنها استناد می­ شود با این حال، باید به­عنوان شکل خاصی از توزیع فراوانی درآمدها، و نه شاخص نابرابری، در نظر گرفته شود و لذا دارای ویژگی­های مورد انتظار از یک شاخص نابرابری نیستند.
بر مبنای سهم چندک­ها، شاخص­ هایی نیز ارائه شده است از جمله:
۱)نسبت سهم درآمدی ده درصد ثروتمندترین افراد به ده درصد فقیرترین آنان:
این نسبت نشان می­دهد که به­ طور متوسط ثروتمندترین افراد جامعه چند برابر فقیرترین آنان درآمد دارند.
۲)شاخص نابرابری چندک­ها:
این شاخص به­ صورت مجموع قدرمطلق انحراف سهم درآمدی چندک­های مورد بررسی از سهم جمعیتی آنان، نسبت به حداکثر انحراف درآمدی ممکن تعریف می­ شود. یعنی: