در یک مدل نسل‌های همپوشان کاب داگلاس CRRA با تابع احتمال پالس بقای سرمایه مولّد، اگر باشد، تله فقر وجود ندارد.
اثبات:
اگر باشد آنگاه (قسمت (الف) نمودار ۴-۱). نخست وضعیتی را در نظر می گیریم که اقتصاد در سطح پایین انباشت سرمایه مولّد، ، نسبت به آستانه قرار دارد پس داریم (که معادل آن خواهد بود: ). از آنجا که است محافظت هنوز فعال نبوده و انباشت سرمایه بسوی رشد می‌کند و به همین نسبت متوسط بهره وری سرمایه به نزول می‌یابد. مقدار پیش از به خواهد رسید و در این سطح از سرمایه، محافظت فعال می شود که جهشی به سمت احتمال بقای سرمایه بیشینه دارد. به طور خلاصه مسیر انباشت سرمایه از به تغییر می‌یابد. احتمال بالاتر بقای سرمایه نرخ بازگشت سرمایه را افزایش داده و از آن جا که است آثار جانشینی بر آثار درآمدی غلبه کرده و اقتصاد به سمت پس‌انداز بیشتر حرکت می‌کند. سرمایه در مسیر جدید به سوی وضعیت ایستای بیشینه ) حرکت کرده و بدون افتادن در تله از ) پیشی می‌گیرد.
اگر باشد آنگاه است(قسمت (الف) نمودار ۴-۲). نخست وضعیتی را در نظر می گیریم که اقتصاد در سطح پایین انباشت سرمایه مولّد، ، نسبت به آستانه قرار دارد پس داریم (و معادل آن ). مجدداً از آنجا که در این حالت است محافظت فعال نبوده و موجودی سرمایه به سمت رشد پیدا می‌کند، اما پیش از رسیدن به به آستانه رسیده و در نتیجه محافظت فعال شده و در مسیر جدید قرار گرفته، به سمت می‌رود. تفاوت بین این حالت و حالت این است که در این حالت آثار درآمدی بر آثار جانشینی غلبه دارد. در چنین اقتصادی زمانی که محافظت فعال می‌گردد (نقطه ای که به می‌رسد) افراد مصرف زودهنگام خود را افزایش می‌دهند. قابل توجه اینکه، موجودی سرمایه در وضعیت بلند مدت ایستا در حالتی که احتمال بقای سرمایه بیشینه است کمتر از حالتی است که احتمال بقای سرمایه کمینه است (). دلیل آن نیز تمایل افراد به مصرف زودهنگام است.
در هر دو حالت ، اگر باشد اقتصاد در مسیر رسیدن به بوده و بدون وقوع تله به سمت حرکت خواهد کرد.
قضیه ۲:
در یک مدل نسل‌های همپوشان کاب داگلاس CRRA با تابع احتمال پالس بقای سرمایه مولّد، اگر باشد تله فقر گریزناپذیر وجود خواهد داشت.
اثبات:
اگر مقدار اولیه موجودی سرمایه کمتر از باشد، موجودی سرمایه بدون برخورد به آستانه ، به سوی می رود. فرض می‌کنیم که مقدار قابل توجهی از کمک‌های خارجی به اقتصاد تزریق شده و سطح موجودی سرمایه درسطحی بالاتر از آستانه قرار گیرد؛ . مدل پیشنهادی نشان خواهد داد که موجودی سرمایه مجدداً به سمت سطح تله سوق خواهد یافت.
اگر باشد آنگاه است (قسمت (ج) نمودار ۴-۱). در این حالت، انباشت سرمایه از نقطه که در آن (و معادل آن: ) شروع می‌شود. از آنجا که است محافظت در این وضعیت فعال بوده و موجودی سرمایه به سمت و متوسط بهره وری سرمایه به سمت می رود. ولی از آنجا که است مقدار پیش از رسیدن به به کمتر از نزول می‌یابد که در این سطح از سرمایه، محافظت غیرفعال شده و این امر خود سبب تغییر مسیر از به می‌شود. اقتصاد در سطح جدید وضعیت ایستا ) درون تله می افتد. در نتیجه کمک‌های خارجی در رسیدن به ) موفق نخواهند بود.
اگر ، در این حالت است (قسمت (ج) نمودار ۴-۲). فرض می‌کنیم که اقتصاد از موجودی سرمایه مولّد سطح که در آن (و معادل آن ) آغاز می‌کند. مجدداً، از آنجا که است محافظت در این وضعیت فعال بوده و موجودی سرمایه به سمت می رود ولی پیش از رسیدن به به می‌رسد که این امر سبب تغییر از به می‌شود. در این حالت، اقتصاد در وضعیت ایستای ) درون تله افتاده و هیچ گاه به یا نمی‌رسد.
یکی از روش‌های شناخته شده فرار از تله فقر، تزریق سرمایه مولّد از بیرون اقتصاد می‌باشد. البته تا هنگامی‌که میزان سرمایه تزریقی کمتر از شکاف باشد، اقتصاد در حفظ سطح سرمایه مولّد بالاتر از سطح آستانه ناتوان بوده و درون تله گرفتار خواهد ماند. زمانی که سرمایه تزریقی از میزان بیشتر باشد، نیروی وارده به اقتصاد تولید را تا حدی ارتقاء می دهد که بتواند در حوزه سرمایه‌های محافظ سرمایه گذاری لازم را نموده و سطح آن را بالاتر از آستانه Q حفظ کند. در این شرایط ترجیحات افراد نقش بسیار مهمی ایفا می‌کند. قضیه های ۳ و ۴ این وضعیت را توضیح می‌دهند.
قضیه ۳:
در یک مدل نسل‌های همپوشان کاب داگلاس CRRA با تابع احتمال پالس بقای سرمایه مولّد، اگر و باشد تله فقر گریزپذیر وجود خواهد داشت.
اثبات:
فرض می‌شود که موجودی سرمایه اولیه کمتر از یا به عبارت دیگر (قسمت (ب) تصویر ۴-۱). در این حالت موجودی سرمایه بر روی به سمت حرکت می کند. در این سطح از وضعیت ایستای پایین تر، هر گونه تزریق سرمایه خارجی کمتر از شکاف «» بی اثر بوده و اقتصاد به سمت وضعیت ایستا سطح پایین سوق می‌یابد. . با این حال تزریق سرمایه خارجی بیشتر از میزان منجر به محافظت بیشتر از سرمایه مولّد شده و اقتصاد را به مسیر جدید و از طریق آن به سمت وضعیت ایستای سطح بالا سوق می‌دهد.
یکی از نکات کلیدی در این بحث نقش ترجیحات است. چون است لذا آثار جانشینی بر آثار درآمدی غلبه دارد؛ بنابراین زمانی که اقتصاد به مسیر جدید وارد می‌گردد، افراد تمایل بیشتری به پس‌انداز پیدا می‌کنند که این امر به انباشت بیشتر سرمایه مولّد به سمت وضعیت ایستای سطح بالاتر منجر می‌شود.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
از سوی دیگر، قضیه ۴ وضعیتی را توضیح می‌دهد که در آن آثار درآمدی بر آثار جانشینی غلبه دارد. در نتیجه زمانی که اقتصاد به مسیر جدید تغییر پیدا می‌کند، افراد، مصرف زودرس خود را افزایش می‌دهند به صورتی که ماندن در مسیر بالاتر پایدار نبوده و اقتصاد بین دو مسیر دائماً در تغییر خواهد بود.
قضیه ۴:
در یک مدل نسل‌های همپوشان کاب داگلاس CRRA با تابع احتمال پالس بقای سرمایه مولّد، اگر و باشد تله فقر متناوب وجود خواهد داشت.
اثبات:
فرض می‌شود که موجودی سرمایه کمتر از بوده و به عبارت دیگر (قسمت (ب) تصویر ۴-۲). موجودی سرمایه در مسیر پائینی به سمت می‌رود. البته پیش از رسیدن به به سطح آستانه و یا به عبارت دیگر می رسد که این به فعال شدن محافظت از سرمایه می انجامد و اقتصاد به مسیر بالاتر تغییر می‌یابد. در مسیر جدید موجودی سرمایه جاری بالاتر از وضعیت ایستای جدید می‌باشد و به عبارت دیگر . از این رو، اقتصاد در حرکت به طرف وضعیت ایستای جدید که پایین تر از مقدار جاری است، به مصرف بیشتر و پس انداز کمتر روی می آورد. نتیجه اینکه، سطح موجودی سرمایه به پایین تر از سطح آستانه تنزل یافته و اقتصاد مجدداً به باز می‌گردد. در این وضعیت اقتصاد به هیچ یک از دو سطح وضعیت ایستا نرسیده و متناوباً در تغییر می‌کند.
از آنجاکه اقتصاد بین احتمال بقای بیشینه و کمینه تغییر می‌کند، تله فقر متناوب می‌تواند غیرواقعی به نظر برسد. این وضعیت از قوی بودن فرض تابع احتمال پالس ناشی می‌شود. در واقعیت احتمال بقای سرمایه همزمان با انباشت سرمایه مولّد به تدریج افزایش می‌یابد. در بخش ۴-۳-۴، یک تابع احتمال عمومی بکارگرفته شده است که تله فقر متناوب را با وضعیعت پایدار بین دو سطح مرزی و جایگزین می‌کند.
قضیه۵:
در یک مدل نسل‌های همپوشان کاب داگلاس CRRA با تابع احتمال پالس بقای سرمایه مولّد، در حالتی که باشد، عدم سرمایه گذاری در سرمایه محافظ انتخاب بهینه افراد می‌باشد.
اثبات:
همانطور که نمودار ۴-۳ نشان می‌دهد، در این حالت هر دو منحنی و در یک خط مستقیم با معادله ادغام می‌شوند. افراد برای مصرف و سرمایه گذاری خود بدون توجه به احتمال بقای سرمایه مولّد تصمیم می گیرند. در نتیجه ایشان مقادیر بیشتر سرمایه مولّد را ترجیح می‌دهند که این امر خود نشان دهنده مصرف بیشتر در هر دو نیمه عمر بدون سرمایه گذاری در محافظت است.
از سوی دیگر، دولت می‌تواند یا را هدف قرار داده و به همین نسبت از اهرم نرخ مالیات استفاده نماید. نرخ مالیات بیشتر (کمتر) خط L را به چپ (راست) منحرف ساخته که موجب می شود موجودی سرمایه مولّد وضعیت ایستا کاهش یابد. انتخاب عمومی افراد جوان در یک جامعه مردم سالار بیشینه ساختن سطوح مصرف در هر دو دوره عمر از طریق اجتناب از سرمایه گذاری در سرمایه محافظ می‌باشد که بنابراین سیاست عدم مالیات بر دستمزد () اجتناب ناپذیر خواهد بود.
فرم عمومی‌تابع احتمال
در این بخش، نتایج بخش ۴-۳-۳ با بهره گرفتن از تابع احتمال عمومی‌که فروض ۱، ۲ و ۳ در آن صدق کنند، گسترش یافته اند. برای تابع احتمال جدید، دو آستانه و به عنوان حدود پائینی و بالایی سرمایه محافظ فرض شده‌اند که انباشت آن به افزایش احتمال بقای سرمایه می انجامد. تابع احتمال بقای سرمایه مولّد اینگونه تعریف شده است:
به ترتیبی که پیوسته بوده و با q افزایش می‌یابد؛ یعنی:
.
مشابه تابع احتمال پالس، حد کمینه سرمایه مولّد که برای ارتقای سطح سرمایه محافظ به سطوح آستانه ای و مورد نیاز است به صورت زیر تعریف شده است:
و .
به همین ترتیب مشابه داریم:
و .
این مقادیر معادل می‌باشد که در ارتباط با سطوح آستانه ای و است.
بسته به اینکه ارزش و و نیز و چقدر باشد و همچنین اینکه کوچکتر و یا بزرگتر از یک باشد، یک اقتصاد می‌تواند فارغ از تله باشد، یا آنکه در تله گریزپذیر یا گریزناپذیر و یا در نیم تله گرفتار شده باشد.
همانند تابع احتمال پالس، اگر احتمال بقای سرمایه مولّد از سوانح و بلایا تا نیمه دوم عمر افراد در سطح پائین باقی می‌ماند. زمانی که q از سطح آستانه حداقلی می‌گذرد، منحنی (در مواردی که ) به پائین نزول یافته و (در مواردی که ) یا به بالا بسوی صعود می‌کند.
حالت دیگری که می‌توان به آن اشاره داشت زمانی است که و در آن و (قسمت (الف) تصویر ۴-۴). این اقتصاد با انباشتن سرمایه مولّد و محافظ از سطوح پائین آغاز می‌کند و این بدان معناست که مقدار متوسط بهره وری سرمایه تنزل می‌یابد. سپس، احتمال بقای سرمایه همزمان با عبور سطح سرمایه محافظ از شروع به ارتقا یافته و منحنی نزولی می‌گردد. در دوره بعد از آنجا که مقدار بیشتر از سطح وضعیت ایستا در جدید می‌باشد، سرمایه های مولّد و محافظ بیشتری انباشت می‌شود که در عوض هر چه پیشتر می‌رویم مقدار متوسط بهره وری سرمایه کاهش می‌یابد. به علاوه مقادیر بیشتر سرمایه محافظ می‌تواند احتمال بقا را بهبود بخشیده و از آن پس نزولی شود. این فرایند ادامه می یابد تا جایی که q به رسیده و به ارتقا می یابد. در این حالت، اقتصاد بدون گرفتار شدن در هیچ یک از تله‌های تعادل‌های پائینی، به سمت وضعیت ایستا سطح می‌رود. این همان نتیجه ایست که با بهره گرفتن از تابع احتمال پالس زمانی که و بود، بدست می آمد
| (الف) نبود تله فقر |
| (ب) تله فقر گریزپذیر |
