در این روابط پهنای باند بریلوین نامیده می شود که در یک فیبر تک مد استاندارد تقریبا MHZ35 می‌باشد [۱۹]. می توانیم طیف بهره و طیف فاز پراکندگی بریلوین برانگیخته را برای یک فیبر با ورودی پمپ CW رسم کنیم که در شکل (۵-۵) نشان داده شده است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

شکل (۵- ۵) رفتار رزونانس بهره بریلوین.
می توان نمودار طیف فاز را با بهره گرفتن از روابط KKR از نمودار طیف بهره بدست آورد. دو معادله دیفرانسیل (۵-۱۱) و (۵-۱۲) تا به حال به صورت تحلیلی و دقیق حل نشده اند و برای مشاهده رفتار پدیده پراکندگی بریلوین برانگیخته این دو معادله به صورت عددی حل شده اند. در اینجا ما می خواهیم با معرفی یک روش جدید جواب تحلیلی دقیق دو معادله (۵-۱۱) و (۵-۱۲) را بدست آوریم. در این روش ما ابتدا میدان الکتریکی را بر حسب فاز و توانش بیان می کنیم و معادلات (۵-۱۱) و (۵-۱۲) را برای فاز و دامنه جداگانه بازنویسی می کنیم و یک جفت معادله برای توان دو میدان و و یک معادله برای فاز میدان بدست می آوریم که قابل حل می باشند.
در ابتدا حالتی را در نظر می گیریم که افت توان پمپ فقط بخاطر تلفات فیبر باشد و از افت توان پمپ بخاطر انتقال توان به سیگنال صرف نظر می کنیم و جواب تقریبی را بدست می آوریم و در پایان را با بهره گرفتن از روش تحلیلی دقیق که در این فصل معرفی می شود بدست می آوریم و نتایج هر دو روش را با هم مقایسه می کنیم.
۵-۵-۱- جواب تقریبی معادلات دیفرانسیل جفت شده
در این بخش معادلات (۵-۱۱) و (۵-۱۲) را برای حالتی که از توان انتقالی پمپ به سیگنال صرف نظر کرده ایم حل می کنیم . با این فرض دو معادله (۵-۱۱) و (۵-۱۲) از هم مستقل شده و به صورت زیر بدست می آید:
(۵-۱۵)
در اینجا توان پمپ در خروجی فیبر به صورت می باشد. این جواب تا وقتی که توان انتقالی از پمپ به سیگنال قابل صرفه نظر کردن باشد معتبر می باشد یعنی برای توان های کوچکتر از توان آستانه معتبر می باشد. چنانچه توان پمپ به توان آستانه نزدیک باشد یا از آن بزرگتر باشد معادله (۵-۱۵) دیگر جواب صحیحی نمی دهد. در قسمت بعد جواب تحلیلی و دقیقی که بدست می آوریم برای هر توان ورودی از پمپ جواب صحیحی می دهد.
با بهره گرفتن از رابطه (۵-۱۵) می توانیم تابع انتقال فیبر را برای سیگنال بدست آوریم که به صورت زیر تعریف می شود:
(۵-۱۶)
(۵-۱۷)
(۵-۱۸)
در رابطه (۵-۱۶) عدد موج مختلط مربوط به پدیده پراکندگی بریلوین برانگیخته می باشد و رابطه (۵-۱۷) و (۵-۱۸) بترتیب طیف بهره و فاز پراکندگی بریلوین برانگیخته را می دهند. همانطور که در فصل سوم بیان شد سرعت گروه با بهره گرفتن از مشتق اول بدست می آید. در یک فیبر در حضور پدیده پراکندگی بریلوین برانگیخته از دو جمله تشکیل شده است، جمله خطی و عدد موج مختلط بریلوین :
(۵-۱۹)
برای بدست آوردن سرعت گروه از قسمت حقیقی نسبت به مشتق می گیریم و آن را عکس می‌کنیم. در رابطه (۵-۱۹) قسمت حقیقی با توجه به رابطه (۵-۱۶) متناسب با فاز تابع انتقال می بشاد که با جایگذاری آن در رابطه (۵-۱۹) داریم:
(۵-۲۰)
با گرفتن مشتق از رابطه (۵-۲۰) سرعت گروه به صورت زیر بدست می آید:
(۵-۲۱)
در اینجا می باشد. حال اگر از یک پمپ CW استفاده کنیم با جایگذاری رابطه (۵-۱۳) در رابطه (۵-۲۱) سرعت گروه به صورت زیر بدست می آید:
(۵-۲۲)
حال اگر بخواهیم تاخیر زمانی که پراکندگی بریلوین برانگیخته روی یک پالس ایجاد می کند را بدست آوریم باید اختلاف بین زمان عبور پالس از خلاء و فیبر را بدست آوریم:
(۵-۲۳)
که با جایگذاری رابطه (۵-۲۲) در رابطه بالا داریم:
(۵-۲۴)
اولین جمله رابطه (۵-۲۴) مربوط به زمان عبور پالس از فیبر بدون حضور پراکندگی بریلوین برانگیخته می‌باشد ولی جمله دوم مربوط به تاخیر زمانی پالس می شود که توسط پراکندگی بریلوین برانگیخته ایجاد شده است.
با توجه به رابطه (۵-۲۴) بیشترین تاخیر زمانی در مرکز طیف بریلوین ایجاد می شود که مقدار آن برابر است با:
(۵-۲۵)
۵-۵-۲- جواب تحلیلی و دقیق معادلات دیفرانسیل جفت شده
در این قسمت با توجه به رابطه بین توان و دامنه میدان ، ابتدا با بهره گرفتن از معادله‌های (۵-۱۱) و (۵-۱۲) معادله های دیفرانسیل جفت شده بر حسب و بدست می آوریم. سپس این دو معادله دیفرانسیل جدید را حل می کنیم و جواب های و را بدست می آوریم. بعد از آن معادله دیفرانسیل مربوط به فاز میدان الکتریکی سیگنال را بدست می آوریم و با بهره گرفتن از جواب های و رابطه ای برای فاز میدان سیگنال بدست می آوریم.
حال با توجه به رابطه بین توان و میدان الکتریکی که در بالا بیان شد ابتدا معادلات دیفرانسیل مربوط به توان سیگنال و پمپ را بدست می آوریم. اگر مشتق توان نسبت به مکان را بر حسب میدان بسط بدهیم به رابطه زیر می رسیم:
(۵-۲۶)
با جایگذاری معادله (۵-۱۱) در رابطه (۵-۲۶) داریم:
(۵-۲۷)
حال اگر رابطه (۵-۲۶) را برای بازنویسی کنیم و معادله (۵-۱۱) را در آن قرار دهیم خواهیم داشت:
(۵-۲۸)
حال می توانیم باتقسیم دو معادله (۵-۲۷) و (۵-۲۸) برهم، مشتق نسبت به z را حذف کرده و یک معادله برحسب و بدست آوریم:
(۵-۲۹)
در اینجا می باشد. معادله (۵-۲۹) یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول می باشد که با حل آن داریم:
(۵-۳۰)
در این رابطه C یک عدد ثابت می باشد و از Z مستقل می باشد. با بهره گرفتن از تابع لامبرت^[۶۵] و رابطه (۵-۳۰) می توانیم و را بر حسب همدیگر بیان کنیم.
(۵-۳۱)
(۵-۳۲)
در اینجا W تابع لامبرت می باشد.

سیگنال از انتهای فیبر (Z=L) و پمپ از سر فیبر (Z=0) اعمال می شود، بنابراین ما فقط شرایط مرزی و را داریم و شرایط اولیه نداریم و مقدار C را نمی توانیم با شرایط مرزی بدست آوریم.
حال اگر بخواهیم با بهره گرفتن از رابطه (۵-۳۲) مقدار را بدست آوریم بخاطر مجهول بودن C دو مجهول خواهیم داشت. می توان با تشکیل یک دستگاه دو معادله و دو مجهول(C و) و با بهره گرفتن از روش نیوتن- رافسون مقدار و C را بدست آوریم.
با بهره گرفتن از دو معادله (۵-۲۸) و (۵-۳۰) یک دستگاه شامل دو معادله و دو مجهول و C تشکیل می دهیم. با انتگرال گیری از رابطه (۵-۲۸) داریم:
(۵-۳۳)
با جایگذاری رابطه (۵-۳۱) در رابطه (۵-۳۳) و همراه با رابطه (۵-۳۰) دستگاه زیر را بدست می آوریم: