در یک اتصال SIS پایه گرافن کش دار، معادله dBG در صفحه دوبعدی گرافن بصورت زیر خواهد بود:
(۴-۴)
در این رابطه ماتریس های پائولی، E انرژی برانگیختگی شبه ذرات وابسته به انرژی فرمی، وبه ترتیب پتانسیل الکتریکی و پارامتر نظم ابرسانایی هستند که با توجه به ساختار مسئله و نوع جفت شدگی ابررسانایی تعریف می شوند.
تاکنون اصول کلی و معادله حاکم بر اتصال SIS پایه گرافن کش دار مطرح گردید، حال ابتدا اتصال SIS پایه گرافن کش دار با جفت شدگی s و سپس نوع d به تفصیل مورد بحث قرار خواهد گرفت و تاثیر این جفت شدگی ها در جریان جوزفسون و طیف انرژی آندریف مشخص خواهد شد.
۴-۳-۱- اثر جفت شدگی نوع s در اتصال جوزفسون پایه گرافن کش دار
با توجه به معادله (۴-۴)، پتانسیل الکترواستاتیک و برای نواحی متفاوت بصورت زیر تعریف می شوند:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

و
و
بطوریکه فاز ابررسانایی در ناحیه ابررسانایی و شبه ذرات دارای انرژی های برانگیخته E و θ نیز زاویه اعمال شبه ذراتی می باشد که تحت معادله dBG اداره می شوند.
در این مدل جریان جوزفسون DC محاسبه می شود که ناشی از بزرگی انرژی حالت محصور آندریف با شرط می باشد و می تواند بدون ولتاژ اعمال شده در عرض اتصال جوزفسون قرار بگیرد.
با حل معادله (۴-۴) وقتیکه و ∞→ V_G و L→۰ باشد، پارامتر شدت سد بصورت تعریف می شود.
توابع موج بیرون از ناحیه سد و داخل ناحیه SG بصورت زیر تعریف می شوند:
(۴-۵)
بطوریکه:
(۴-۶)
و
(۴-۷ )
این روابط توابع موج الکترون و حفره هستند که در امتداد منتشر می شوند.
۱(۲) نواحی مربوط به ابررسانا و B (مخفف Barrier) ناحیه عایق با سد پتانسیل L می باشد که به پتانسیل ورودی V_G متصل می شود.
در این اسپینورها تعاریف زیر را داریم:
(۴-۸)
در هر ناحیه الکترون و حفره در جهت با یک بردار موج عرضی و بردار موج منتشرشده در طول جهت x (k_x) حرکت می کنند. زاویه چرخش جفت شدگی نوع S می باشد.
طیف انرژی آندریف برای جریان در جهت x ، با اعمال شرایط مرزی (۴-۱۰) بصورت زیر بدست می آید:
(۴-۹)
(۴-۱۰)
بطوریکه
با .
که دامنه احتمال گذار در جهت x برای فرمیونهای نسبیتی بدون جرم غیرمتقارن می باشد.
برای اتصال غیر کششی که می باشد، نرخ انتقال بصورت زیر است:
(۴-۱۱)
جریان جوزفسون کامل برای همه زوایای فرود در جهت x از فرمول زیر محاسبه می شود:
(۴-۱۲)
که جریان ابررسانا وابسته به زاویه در سطح انرژی آندریف، بوسیله معادله زیر محاسبه می شود:
(۴-۱۳)
با جایگزینی رابطه (۴-۹) در معادله فوق، مقدار دقیق جریان جوزفسون بدست می آید.
ابرجریان ، جریان عمودی به جهت کشش بوسیله تبدیل داخلی و در رابطه (۴-۱۲) امکان پذیر است.
(۴- ۱۴)
در تمامی روابط، x، جهت کشش می باشد.
جریان بحرانی، مقدار ماکزیمم جریان ها در دامنه است.
۴-۳-۲- نتایج و بحث
نمودار ۴-۱- نتایج عددی v_x و v_y برای صفحه گرافنی تحت کشش. نزدیک کشش بحرانی s_c : و :
نتایج نمودار (۴-۱) نشان می دهد که سرعت الکترون در موازات با جهت کشش، زمانیکه کشش به سمت s_c میل می کند، به صفر میل می کند. سرعت با افزایش کشش بطور ناگهانی شیب تند کاهش می یابد. در مقابل سرعت با افزایش کشش به آرامی افزایش می یابد. با نزدیک شدن به مقدار کشش بحرانی، نسبت سرعت به بسیار بزرگ می شود ().
با بهره گرفتن از این نتیجه برای مقادیر بسیار کوچک ، هامیلتونی وابسته به زاویه که الکترونهای آزاد را برای گرافن تحت کشش حول کشش بحرانی، توصیف می کند تقریبا بصورت زیر است.
(۴-۱۵)
باید دقت کشش داشت این هامیلتونی شامل حالت نیست. چرا که در اینصورت می باشد که با مقدار قابل مقایسه است. این نتیجه برگرفته از این واقعیت است که کشش فرمیونهای نسبیتی بدون جرم دوبعدی را به ازای کشش بحرانی به فرمیونهای نسبیتی بدون جرم یک بعدی تبدیل می کند. بنابراین قابل انتظار است تا یک گذار کامل (تونل زنی کلین) در جهت y به ازای تمام زوایای تابش به جزء داشته باشیم. علاوه براین باید جریان در جهت x برای تمام زوایای تابشی جزء متوقف شود. به علت غیر همگرایی بسیار بزرگ سرعت شبه ذراتی که در داخل اتصال در شرایط وجود دارد، کشش بحرانی باعث تغییر بزرگی در ابرجریان می گردد. که برروی این اثر در ادامه بحث خواهیم کرد.
وقتی که ابرجریان در حال تابش نرمال است، اثر کشش برروی سطح انرژی آندریف با رابطه زیر بیان می گردد:
(۴-۱۶)
این وابستگی سینوسی (نوسانی) از اثر کلین نشات می گیرد که خود نتیجه طبیعت ویژه فرمیون نسبیتی بدون جرم می باشد (کلین اثری است که در آن جریان عبوری اتصال معادل با جریان عبوری در حالت بدون سد پتانسیل است، می باشد).