(۳-۶)

بنابراین اگر:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

آنگاه  یک مقدار ویژه A است اگر و فقط اگر:

از بسط دترمینان فوق یک چند جمله ای از درجه  بر حسب  حاصل می شود که در آن ضریب  برابر یک می باشد. به این چند جمـله ای، چندجمـله ای مشخـصه مـاتـریـس A مـی گویند و آن را با  نشان می دهند. بنابراین معادله مشخصه یک ماتریس  بفرم:

(۳-۷)

خواهد بود که در آن  ریشه های این معادله مقادیر ویژه ماتریس Aهستند. با داشتن مقدار ویژه  و حل دستگاه  بردارهای ویژهA نظیر  محاسبه می گردند. اگر X یک بردار ویژه A نظیر  باشد هر مضرب ناصفری از X نیز یک بردار ویژه نظیر  است زیرا اگر  آنگاه:

(۳-۸)

و لذا  نیز یک بردار ویژه A نظیر  است. به عنوان مثال مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس زیر را بدست می آوریم:

ابتدا  را تشکیل می دهیم:

لذا چند جمله ای مشخصه ماتریس A عبارت است از:

بنابراین معادله مشخصه ماتریسA ،  است. از حل این معادله مقادیر  و  که مقادیر ویژه A هستند بدست می آید. برای یافتن بردارهای ویژه نظیر  باید دستگاه  یا  را حل نمود:

پس:

همانطور که انتظار می رود دستگاه فوق دارای بینهایت جواب است و هر برداری که مختصات آن در دستگاه فوق صدق می کند یک بردار ویژه ماتریس A است. با انتخاب یک مقدار دلخواه برای  می توان  را بدست آورد. برای مثال  یک بردار ویژه A نظیر  است. همچنین هر مضربی از این بردار نیز یک بردار ویژه A است.
۳-۳-۲- مقادیر ویژه مختلط
ممکن است در بعضی حالات به معادله مشخصه ای برخورد کنیم که ریشه حقیقی نداشته باشد در این صورت ماتریس مورد نظر دارای مقدار ویژه حقیقی نمی باشد اما وجود حداقل یک مقدار ویژه مختلط قطعی است. قضیه زیر این موضوع را بیان می کند.
فرض کنید A یک ماتریس مرتبه  است، در این صورت معادله مشخصه این ماتریس یک معادله جبری از مرتبه  بر حسب  می باشد و بنابر قضیه اساسی جبر دارای حداقل یک ریشه حقیقی یا مختلط است. لذا ماتریس A دارای حداقل یک مقدار ویژه حقیقی یا مختلط می باشد.
اگر  یک مقدار ویژه ماتریس حقیقی A باشد در این صورت  نیز مقدار ویژه A است و بردار ویژه نظیر  مزدوج بردار ویژه نظیر  است.
نکته ی دیگری که باید بدان اشاره کرد این است که اگر A یک ماتریس حقیقی و  یک مقدار ویژه مختلط آن باشد آنگاه بردار ویژه X نظیر  مختلط است. (یعنی حداقل یک درایه مختلط دارد).
همچنین اگر A یک ماتریس حقیقی و پادمتقارن باشد آنگاه مقادیر ویژه A صفر یا موهومی محض اند. چون A حقیقی است بنابراین  و چون A پادمتقارن است لذا  پس  . ارتباط جالبی بین مقادیر ویژه یک ماتریس با اثر و دترمینال آن وجود دارد. جمله ی زیر این ارتباط را بیان می کند.
اثر هر ماتریس برابر است با مجموع مقادیر ویژه آن و دترمینال هر ماتریس برابر است با حاصلضرب مقادیر ویژه آن. به بیان دیگر اگر  مقادیر ویژه A باشند آنگاه: