از هر دو مدار – اسپین  و  با اندازه حرکت  و  و اسپین  و  می­توانیم دترمینان اسلاتر دو ذره­ای با انداز حرکت کل  را تشکیل دهیم.
بنابراین ما ۴ دترمینان اسلاتر با مدار- اسپین–k , k و توابع اسپینی  می­نویسیم. برای مثال دترمینان تشکیل شده با مدار­های اسپینی  و  به صورت زیر بیان می­شوند:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۲-۹)
و بنابراین:
(۲-۱۰)
که در آن  . به­ طور مشابه
(۲-۱۱)
(۲-۱۲)
(۲-۱۳)
تابع موج حالت یگانه بوسیله معادله زیر داده می­ شود:
(۲-۱۴)
تابع موج حالت سه­گانه بوسیله معادله زیر داده می­ شود:
(۲-۱۵)
تابع اسپینی یگانه در (۲-۱۴) تحت تعویض دو ذره­ی ۱ و ۲ پادمتقارن است. بنابراین قسمت مداری در (۲-۱۴) در فضای حقیقی متقارن است. تابع اسپینی سه­گانه در (۲-۱۵) تحت تعویض دو ذره­ی ۱ و ۲ متقارن است. بنابراین قسمت مداری در (۲-۱۵) در فضای حقیقی پادمتقارن است. اغلب تابع موج با اسپین کل صفر و تکانه کل صفر می ­تواند به­وسیله یک ترکیب خطی از تابع اصلی (۲-۱۴) به شکل زیر نوشته شود:
(۲-۱۶)
که  .  تابع زوجی از  است.
به­ طور مشابه برای تابع موج با اسپین کل یک و مؤلفه مشخص  و تکانه کل صفر داریم:
(۲-۱۷)
که در آن  و  تابع فردی از  است.
for
و  انرژی غیراختلالی الکترون آزاد است. به علاوه  فقط میان الکترون­ها در پوسته انرژی از مرتبه  نزدیک سطح فرمی جاذبه است. بنابراین:
for
انرژی دبی  خیلی کوچک­تر از انرژی فرمی است، بنابراین فرض می­کنیم شرط  برقرار است. عناصر ماتریسی پتانسیل  بین یک حالت اولیه با دو الکترون با بردار موج­های  و یک حالت نهایی با دو الکترون با بردار موج­های  به صورت زیر می­باشند:
(۲-۱۸)
که در آن  می­باشد و  به­ طور معکوس متناسب با حجم  از نمونه می باشد.
معادله شرودینگر (۲-۷) را به یک معادله انتگرالی برای ضریب  تبدیل می­کنیم. با جایگزینی رابطه (۲-۱۶) و (۲-۱۷) در معادله (۲-۷) و انتگرال­گیری روی  و  و جمع­زنی روی اسپین داریم:
(۲-۱۹)
برای راحتی  را به شکل  می­نویسیم که  انرژی مثبت می­باشد و مستقل از N، تعداد یاخته­های بلور است. بنابراین رابطه­ (۲-۱۸) به صورت زیر در می ­آید:
(۲-۲۰)
معادله انتگرالی (۲-۱۹) انرژی­های حالت سه­گانه جفت الکترون را تغییر نمی­دهد. در حقیقت برای حالت سه­گانه:
(۲-۲۱)
و بنابراین اثر  ظاهر نمی­ شود. برای حالت یگانه، معادله انتگرالی (۲-۱۹) یک محدوده با انرژی کمتر از دو برابر انرژی فرمی را بیان می کند.
(۲-۲۲)
همچنین در مورد یک نوار رسانش کروی،  یک تابع متقارن کروی است و حرکت نسبی الکترون­های جفت­شده با یک موج - s توصیف می­ شود[۷۵].
۲-۸- نظریه­ میکروسکوپی ابررسانایی
در ایجاد ابررسانایی، الکترون­های مجاور سطح فرمی (فرمیون­های باردار) به واسطه مبادله­ برانگیختگی­هایی (اغلب فونون­های صوتی) به حالت چگالیده­ای (ابرشاره) در می­آیند که در آن این الکترون­ها به صورت جفت جفت (جفت کوپر) درآمده و یک همبستگی کوانتومی بلند بردی به وجود می ­آید که پیامدهای مهم و جالبی را به دنبال دارد.
دو نظریه­ مهم ابررسانایی، نظریه­ گینزبرگ-لاندائو (GL) و نظریه­ BCS^[117] می­باشند. در نظریه (پدیده شناختی) اول نظم ابررسانایی با بهره گرفتن از پارامتر نظم  و معادلات معروف گینزبرگ-لاندائو توصیف می­ شود. بعضی از دستاوردهای فوری این نظریه معرفی طول­های مشخصه هم­دوسی و عمق نفوذ، انرژی سطحی و ابررساناهای نوع Ι و ΙΙ، کوانتش شار، آثار جوزفسون و ساختار شار در ابررساناها می­باشد[۷۶].
نظریه­ BCS با توجیه جفت­شدگی الکترون­های مجاور سطح فرمی و معرفی تابع موج حالت پایه ابررسانا بر حسب عملگرهای آفرینش و نابودی شروع و با یافتن ضرایب بسط تابع موج به روش وردشی یا قطری کردن هامیلتونی در تقریب میدان میانگین با بهره گرفتن از یک تبدیل کانونی مناسب ادامه می­یابد. این نظریه با معرفی گاف انرژی در طیف برانگیختگی­های شبه ذره توضیح میکروسکوپی مشخصه­ها و رفتارهای ابررسانایی را به طور تحسین برانگیزی فراهم می­نماید.
در سال ۱۹۵۷ میلادی باردین، کوپر و شریفر اولین نظریه میکروسکوپی ابررسانایی را ارائه کردند. خیلی زود معلوم شد که این نظریه از جنبه­ های اساسی صحیح است و برخی از پدیده ­های مهم تجربی را توضیح می­دهد. ساز و کار فیزیکی ابررسانایی ۴۶ سال بعد از کشف این پدیده و به دنبال انتشار نظریه­ BCS در این زمینه آشکار شد. به عنوان مثال این نظریه اثر ایزوتوپ  [۸۱] را که در آن دمای گذار بر حسب جرم M یون­های شبکه بلوری تغییر می­ کند را به درستی توضیح داد. نظریه­ اصلی BCS پیش ­بینی می­ کند که نمای  برابر۲ ̸ ۱ است. بسیاری از ابررساناهای معمولی به خوبی با این پیش ­بینی توافق دارند.
دومین پیش ­بینی مهم نظریه BCS عبارت است از وجود گاف Δ۲ در سطح فرمی که در نمودار (۲-۴) نشان داده شده است. در فلز عادی حالت­های الکترونی تا انرژی فرمی  پر شده ­اند و در سطح فرمی چگالی حالات متناهی  را داریم. اما برای یک ابررسانای BCS در دمای پایین­تر از  ، گاف کوچک Δ۲ حالت­های پر و خالی را از هم جدا می­ کند. گاف در سطح فرمی قرار دارد و (بر خلاف نیم­رساناها و نارساناها) مانعی برای رسانش الکتریکی ایجاد نمی­کند.

نمودار ۲-۴- گاف انرژی Δ۲ی BCS. برخلاف گاف نیم­رساناها و نارساناها، گاف ابررسانایی همیشه از مرتبه­ی mev و در سطح فرمی قرار دارد. بنابراین همیشه رسانش الکتریکی امکان­ پذیر است.
کشف تجربی این گاف اساساً مقارن با توسعه نظریه­ BCS بود. بلافاصله بعد از انتشار نظریه BCS اندازه گیری­های تجربی مختلفی نشان دادند که گاف انرژی Δ۲ در توافق عالی با پیش ­بینی نظریه BCS است که شاید مهم­ترین این آزمایش­ها، طیف سنجی تونل­زنی الکترونی باشد. این آزمایش نه تنها وجود گاف Δ۲ را نشان داد، بلکه مشخصه­های دیگری را نیز آشکار کرد که نشان می­دادند منشأ گاف، جفتیدگی الکترون – الکترون است. پارامتر گاف  نقش مهم دیگری نیز داشت. در سال ۱۹۶۰ میلادی، گورکوف^[۱۱۸] توانست با بهره گرفتن از فرمول­بندی تابع گرین نظریه­ BCS، نظریه­ گینزبورگ – لاندائو را به دست آورد و بنابراین توضیحی میکروسکوپی از پارامتر نظم  ارائه کند. او نه تنها نشان داد که  مستقیماً به تابع موج زوج­های کوپر مرتبط است، بلکه نشان داد که متناسب با پارامتر گاف  نیز هست.
نظریه­ BCS بر مبنای سه بینش استوار است: ۱- در برخی موارد به دلیل جفتیدگی بین الکترون­ها (به واسطه­ مبادله فونون­ها) نیروی مؤثر بین الکترون­ها به جای دافعه، می ­تواند جاذب باشد. ۲- کوپر نشان داد در ساده­ترین دستگاه، یعنی دستگاه متشکل از تنها دو الکترون که در بیرون یک سطح فرمی پر قرار دارند زوج الکترون یک حالت مقید^[۱۱۹] پایدار تشکیل می­ دهند و اصلاً مهم نیست که نیروی جاذب چقدر ضعیف باشد. ۳- شریفر یک تابع موج بس­ذره­ای معرفی کرد که در آن تمام الکترون­های واقع در نزدیکی سطح فرمی جفت شده ­اند[۴۴].
برخی پیامدهای این نظریه عبارتند از: ۱- بر هم کنش جاذب بین الکترون ها می تواند به یک حالت پایه، که با گاف انرژی از حالت های برانگیخته جدا می شود منجر شود. میدان بحرانی، ویژگی های گرمایی و اغلب ویژگی های الکترومغناطیسی، از آثار گاف انرژی اند. ولی در شرایط خاص، ابررسانایی ممکن است بدون گاف انرژی رخ دهد. ۲- عمق نفوذ و طول همدوسی به عنوان پیامدهای طبیعی نظریه BCS بروز می کنند.معادله لندن برای میدان های مغناطیسی که در فضا به آهستگی تغییر می کنند، بدست می آید. بنابراین پدیده اصلی در ابررسانایی، اثر مایسنر به طور طبیعی بدست می آید. ۳- کوانتومی شار بر حسب زوج بار e2 بجای واحد بار موثر e . چون حالت پایه ای BCS متضمن زوج الکترونهاست. ۴- پیشگویی یک ناپیوستگی در گرمای ویژه، در دمای بحرانی و در غیاب میدان مغناطیسی.