که بردار به صورت ضمنی به عنوان یک جواب از سیستم معادلات خطی (۲-۶۲) برای تعریف می‌شود.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
همانند روش صریح مجددا فرض می‌کنیم:
برای هر سطح چنین سیستمی از معادلات باید حل شود. این روش، روش ضمنی نامیده می‌شود. اما برای تشخیص آن از روش صریح، ما آن را روش عقب‌گرد می‌نامیم. روش برای همه به صورت غیر مشروط پایدار است. هزینه استفاده از روش ضمنی پایین است چون ماتریس ثابت و مثلثی است
روش گرنک-نیکلسون[۷۱]:
در روش‌های قبلی گسسته‌سازی، از مرتبه هستند. به نظر می رسد که قابل ترجیح باشد از روشی استفاده نمائیم که در گسسته‌سازی از مرتبه بهتر استفاده نماییم و پایداری مشروط نباشد. اجازه دهید که مجددا معادله (۲-۳۷) را در نظر بگیریم که این معادله هم ارز با مدل بلک شولز است.
گرنک و نیکلسون میانگین روش دیفرانسیل پیشرو و عقب‌رو را پیشنهاد می‌دهند.
روش پیشرو برای به صورت زیر است:
روش عقب‌گرد برای به صورت زیر است
با جمع زدن دو طرف داریم:
معادله (۲-۶۴) در هر یک از سطوح زمانی و سه مقدار را در بر می‌گیرد که در شکل (۲-۸) ویژگی های این روش قابل مشاهده است. این مبانی یک روش کارا است .ویژگی‌های آن در تئوری زیر خلاصه شده اند.
-ساختار روش گرنک و نیکلسون
تئوری گرنک-نیکلسون: فرض کنید که است:
۱)مرتبه روش گرنک-نیکلسون است.
۲)برای هر یک سیستم خطی از ساختار مثلثی ساده باید حل شود.
۳)پایداری برای همه برقرار است.
الگوریتم گرنک –نیکلسون:
شروع: را انتخاب می‌کنیم که و را محاسبه نمائید.
برای و از (۲-۴۳) و (۲-۴۴) برای مقادیر توسط شرایط اولیه بدست می‌آوریم
همچنین ماتریس را به حاصلضرب دو ماتریس بالا مثلثی و پایین مثلثی تجزیه می‌نماییم
لوپ: برای
محاسبه کن:
حل کن: با بهره گرفتن از تجزیه به حاصلضرب دو ماتریس بالا مثلثی و پایین مثلثی یعنی اینکه و را حل می‌کنیم
در نهایت
شرایط مرزی[۷۲]
در مدل بلک شولز و (۲-۳۸) و نوع گسسته آن نیازمند یک سری شرایط مرزی هستیم. در عمل باید ارزش‌های برای و یا برای و یا و برای باید توسط شرایط مرزی توضیح داده شوند. شرط (۲-۶۳) به تنهایی نمی تواند الگوریتم بیان شده فوق را کامل نماید برای این منظور باید شرایط مرزی واقعی تعریف نمود. شرایط مرزی برای تاریخ انقضا روشن است.
ارزش اختیار اروپایی خرید و فروش با بهره گرفتن از شکل (۲-۲)، شکل (۲-۳)، (۲-۳۹) و (۲-۴۰) برای به صورت زیر بیان می شود.
محاسبه اختیارات آمریکایی:
اختیارات امریکایی نسبت به اختیارات اروپایی دارای ارزش بالاتری هستند . همچنین اختیار امریکایی دارای ارزش حداقل بازدهی است. بنابراین اختیار امریکایی دارای پایین‌ترین کران‌های اولیه است. در اختیار امریکایی از نوع فروش و خرید همواره داریم و نتایج زیر در شکل (۲-۹) نشان داده شده اند:
-ارزش اختیار خرید( )
برای اختیار فروش امریکایی است. برای های میانی، تصور نمایید که از سمت راست میل نماییم در این صورت پیوستگی و یکنوایی بیان می کند که با خط راست بازدهی در بعضی ارزش های با برخورد می نماید. که این نقطه تماس به صورت زیر بیان می شود.
ارزش معادل با خط راست بازدهی است در این صورت نیاز به هیچ ک.نه محاسبه نیست. برای هر منحنی به کران پایینش در می رسد.
وضعیت بالا در هر برقرار است و نقطه با تغییر در تغییر می نماید بنابراین به صورت نوشته می شود. برای همه نقاط برخورد یک منحنی را در در نیمه نوار تشکیل می دهد. منحنی جدا کننده نواحی با ارزش اختیار بزرگتر از بازدهی( ) و نواحی با ارزش اختیار معادل بازدهی( ) است. منحنی از اختیار فروش امریکایی در شکل (۲-۱۰) رسم شده است. محل مرزی به دلایل قبلی نامعلوم است بنابراین منحنی ازاد است و این توضیح می دهد چرا مسئله محاسبه برای آزاد نامیده می شود.
- نواحی توقف و پیوسته برای اختیار فروش امریکایی
برای اختیار خرید آمریکایی نیز وضعیت مشابه است بجز اینکه تقاطع فقط برای حالتی رخ می دهد که سود تقسیم‌شده دارایی ها مخالف صفر باشد. و برای اختیار خرید امریکایی در شکل (۲-۱۱) رسم شده است.
- نواحی توقف و پیوسته برای اختیار خرید امریکایی
مفهوم اولیه منحنی اقتصادی است. مرز آزاد منحنی اعمال اولیه [۷۳]است بنابراین مان رسیدن فرایند به یک زمان توقف بهینه است که این برخورد درشکل (۲-۱۲) نشان داده شده است.
حال برای اختیار خرید امریکایی موارد فوق را بررسی می نماییم. در مواردی که می باشد اعمال فوری باعث ایجاد زیان می شود از معادله (۲-۶۷) می توان دریافت که می باشد.دریافت قیمت توافقی زیان و را جبران نمی کند. بنابراین سرمایه‌گذار برای اعمال اختیار فروش نمی کند. بنابراین توضیح می دهد که چرا ناحیه ، ناحیه ادامه دادن اختیار (قسمت سایه دار در شکل (۲-۱۰)) است. از طرف دیگر منحنی مرز توسط مشخص شده است هر تغییر در با یک حرکت متناظر از جبران می شود. در این اختیار تنها راه سود کردن اعمال و سرمایه گذاری عایدات در نرخ بهره بدون ریسک برای دروه زمانی باقی مانده است. سود حاصل معادل خواهد بود. جهت حداکثر کردن سود، نگهدارند اختیار را حداکثر می نماید و فورا زمانی که به برسد فورا اختیار را عمال می نماید. بنابراین منحنی یک منحنی اعمال فوری است. و ناحیه ناحیه توقف نامیده می‌شود.
-زمان توقف بهینه برا اختیار فروش امریکایی
در حقیقت منحنی های نسبت به زمان دیفرانسیل پذیر و یکنوا هستند. و هر دو کران بالا و پایین برای وجود دارد. در اینجا خودمان را به محدوده های داده شده توسط حد محدود می نماییم. برای اختیار فروش امریکایی داریم:
