جدول۱-۵- سهم در بسط دو قطبی ۱۶
جدول ۲-۱ ۳۲
جدول ۲-۲ ۳۲
فهرست شکل ها
عنوان صفحه
شکل ۱-۱ تاثیرات نسبیتی بر گشتاور دو قطبی و چهار قطبی مغناطیسی ۱۷
شکل۲-۱- هشت تایی باریونها ۲۸
شکل۲-۲- هشت تایی مزونها ۲۹
شکل ۲-۳- ده تایی باریونها ۳۰
شکل ۲-۴- سه تایی کوارکها ۳۱
شکل ۲-۵- زاویه‌ی پراکندگی برای اتم و پروتون ۳۵
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
شکل ۳-۱- نحوه انتخاب دو کوارک پایین و یک کوارک بالا ۴۳
فصل اول
مقدمه
۱-۱ گشتاور مغناطیسی
گشتاور مغناطیسی[۱] یک آهنربا کمیتی است که نیرویی را که آن آهنربا به جریانهای الکتریکی وارد می کند و یا گشتاوری که میدان مغناطیسی به آن وارد می کند را تعیین می کند. یک حلقه جریان الکتریکی، یک آهنربای میلهای، یک الکترون، یک ملکول و یک سیاره همه دارای گشتاور مغناطیسی هستند.
گشتاور مغناطیسی و میدان مغناطیسی هر دو بردار هستند که مقدار و جهت دارند. جهت گشتاور مغناطیسی از قطب جنوب آهن ربا به طرف قطب شمال آن است. میدان مغناطیسی ایجاد شده توسط آهنربا با گشتاور مغناطیسی آن متناسب است. گشتاور مغناطیسی در واقع کوتاه شده عبارت گشتاور دوقطبی مغناطیسی[۲] است که جمله اول در بسط چندگانه پتانسیل مغناطیسی است. میدان مغناطیسی[۳] حول جهت گشتاور مغناطیسی متقارن است و با معکوس فاصله به توان ۳ متناسب است. در واقع وجود گشتاور مغناطیسی در هر ذرهای پیش بینی قانون آمپر-ماکسول است که احتمالا نشان دهنده‌ی وجود جریان است. گشتاور مغناطیسی در الکترودینامیک کلاسیک طبق تعریف برای یک مدار جریان به صورت زیر تعریف می شود:
که در آن بردارگشتاور مغناطیسی، جریان موجود در مدار و بردار مکان است. میتوان نشان داد برای یک ذره باردار نقطهای که در حال حرکت در یک پتانسیل مرکزی است مقدار این کمیت متناسب با تکانه زاویهای است:
که در آن بار، بردار سرعت، بردار تکانه زاویهای و جرم ذره است. در مکانیک کوانتومی این کمیت ها با عملگر متناظر خود جایگزین شده و با ویژه مقادیر خود، مقادیر ممکن برای گشتاور مغناطیسی را به دست می دهد. نکته ی جالب توجهی که در این زمینه وجود دارد این است که ذراتی نظیر الکترون، پروتون و نوترون علاوه بر گشتاور مغناطیسی ناشی از تکانه زاویه ای مداری[۴]، یک گشتاور مغناطیسی ذاتی نیز دارند که برای اولین بار در اثر غیر معمول زیمان[۵] مشاهده شد. این اثر نشان داد که الکترون هایی با ویژه مقادیر تکانه زاویه ای صفر نیز می توانند با میدان مغناطیسی بر هم کنش انجام دهند که این باعث کشف خاصیت ذاتی این ذرات به اسم اسپین[۶] شد.
اسپین که در فیزیک کلاسیکی حضور ندارد در مکانیک کوانتومی عملگری متناظر دارد که از لحاظ رفتاری شبیه عملگر تکانه زاویه ای است. با دانستن این خصوصیات می توان گفت که گشتاور مغناطیسی ذاتی این ذرات متناسب با اسپین می باشد:
که در آن بار الکترون، فاکتور لاند[۷]، سرعت نور در خلاء، جرم و بردار اسپین ذره است. نکتهی جالب این که در این رابطه، ثابت تناسب در یک ضریب نسبت به مورد تکانه مداری تفاوت دارد که به آن فاکتور لاند (نسبت ژیرومغناطیسی) می گویند. برای الکترون بسیار نزدیک به عدد ۲ (مقدار تجربی آن ۰۰۲۳۱۹۳۰۴۳۶/۲) است.
گاهی در فیزیک کلاسیک اسپین را به حرکت های وضعی یک جرم حول محوری که از مرکز جرمش می گذرد نسبت می‌دهند. وجود ضریب اضافه در گشتاور مغناطیسی ذاتی ذرات کوانتومی به این خاطر است که نمی‌توان الکترون و یا دیگر ذرات ریز کوانتومی را مانند کره ای صلب دانست که به دور خود می‌گردند. ضریب که در کوانتوم مکانیک معمولی با دست وارد معادلات می شود را میتوان با بهره گرفتن از نظریه مکانیک کوانتومی نسبیتی دیراک برای الکترون بدست آورد که برابر ۲ می‌شود.
برای اندازه گیری گشتاور مغناطیسی یک هسته قضیه کمی پیچیدهتر می شود. از آنجایی که هسته یک سیستم متشکل از تعدادی از ذرات است، برای محاسبهی گشتاور مغناطیسی آن باید گشتاور مغناطیسی تک تک ذرات تشکیل دهنده را در آن دخیل دانست:
در بررسی های کوانتومی معمولا با مولفه تکانه زاویهای در راستای z کار میکنیم که به خاطر عدم محاسبات برداری محاسبات را به نحو چشم گیری سادهتر می کند:
البته این محاسبات به مقدار زیادی نکته بینی و ظریف اندیشی احتیاج دارد چون بسیاری از عوامل ممکن است در این کمیت دخیل بوده و تاثیراتی روی مقدار آن بگذارند، به خصوص این که ذرات درون هسته، با دیدی دقیقتر، خود دارای ساختار درونی بوده و گشتاور مغناطیسی خود آنها پیچیده است:
که در آن گشتاور دو قطبی پروتون[۸]، گشتاور دو قطبی نوترون[۹] و و به ترتیب گشتاور دو قطبیهای کوارک بالا[۱۰] و کوارک پایین[۱۱] هستند. البته روشهای دیگری نیز برای نزدیک شدن به این مساله بدون در نظر گرفتن ساختارهای درونی هستکها و فقط با بهره گرفتن از مدلهای هستهای وجود دارد که روش های بسیار زیبا و مستقیمی هستند که سیر تکاملی را طی کرده اند .
دوترون یکی از چهار هستهای است که تعداد نوترون و پروتون آن فرد است. بیشتر این هسته‌ها نسبت به واپاشی بتا ناپایدارند، زیرا نتیجه آن یک هسته ی زوج-زوج خواهد بود که به خاطر اثرات جفت شدگی هستهای پایدار‌تر است. اما در دوترون این ویژگی وجود دارد که نوترون و پروتون هردو با هم حالت اسپین کل یک را تشکیل می‌دهند. که این برای هستههای با دو پروتون و یا دو نوترون به خاطر اصل طرد[۱۲] پائولی نمی‌تواند وجود داشته باشد و باعث ناپایداری هسته می‌شود. تکانه زاویهای مداری در حالت پایه‌ی نوترون و پروتون باعث کم شدن انرژی بستگی می شود اما هستههای با دو پروتون و یا دو نوترون را به خاطر فاصلهی زیاد بین ترازهایشان نا‌پایدار می کند.
حالت آیزو اسپینی که دوترون در آن قرار می‌گیرد حالت تکتایی است. در ابتدا نوترون و پروتون را دو گونه‌ی مختلف از یک ذره می دانستند؛ با توجه به این که تفاوت آنها فقط در بار بود که تاثیر آن در برهمکنشهای قوی ناچیز است. بنا بر این ایزو‌اسپین معرفی شد. ایزو‌اسپین می‌تواند دو مقدار داشته باشد. مقدار برای پروتون و برای نوترون. با این وصف دو حالت سهتایی و یک حالت تکتایی بدست می‌آید :
با توجه به این که حالت سهگانه متقارن است، در صورت وجود ذره در این حالت آیزواسپینی، باید ذراتی فقط با دو پروتون () و یا دو نوترون () نیز وجود می‌داشتند که چنین ذراتی اصولا ناپایدارند و بنابر این برای دوترون چارهای جز این که آیزواسپین کل صفر را قبول کند چارهای نمی ماند.
با دیدی ساده میتوان گفت که تابع موج دوترون باید حاصل ضرب تابع موج یک پروتون و یک نوترون باشد، اما آزمایشات، مقداری را به ما نشان می دهند که با محاسبات ما متفاوت است و این محاسبات است که به ما می گوید حالت D (چیزی حدود ۵%) در تابع موج وجود دارد. حالت D حالتی است که در آن تکانهی زاویهای مداری دوترون دو است. به این معنی که در چگالی احتمال حالت کلی سیستم حضور دارد و تابع موج به طور خالص حالت S نیست. حالت S نیز حالت پایه است که در آن تکانه زاویهای مداری دوترون صفر است.
البته این تابع موج غیر نسبیتی دوترون است که به دلیل پیچیده بودن حالت نسبیتی معمولا از آن استفاده می‌کنند. روند کار از ابتدا بدین شکل است که در سادهترین حالت میتوان گفت که گشتاور مغناطیسی دوترون را میتوان جمع مقادیر این کمیت برای اجزای تشکیل دهنده‌ی آن دانست که البته این امر فقط در صورتی میسر می شود که بتوان تابع موج دوترون را نیز به سادهترین حالت، یعنی حاصل ضرب حالتهای پروتون و نوترون نوشت، که همانطور که ذکر شد این امر میسر نیست. پس برای دوترون باید به دنبال راه جدیدتری گشت.
همانطور که میدانیم در اندازه گیریهای ما در آزمایشگاه مقداری که بدست می آید همان مقدار چشمداشتی[۱۳] یا مقدار متوسط کمیت است. بنابراین باید کمیت مورد نیاز خود یعنی جمع گشتاور مغناطیسی اجزا را در بین دو تابع موج قرار داده و مقدار متوسط این کمیت را اندازه گیری کنیم:
که البته مقدار پیش بینی شده به این طریق نیز هنوز با مقادیر تجربی موجود متفاوت است که گویای آن است که تاثیراتی در درون هسته وجود دارد که ما هنوز به آن ها توجه نکردهایم.
اثری که روی آن بحث خواهیم کرد اثر جفت شدگی اسپین با تکانه زاویهای[۱۴] و تاثیرات نسبیتی است که اولی تاثیر بسزایی در مقدار گشتاور مغناطیسی دارد، در حالی که حالت دوم زیاد موثر نیست. محاسبات اثر جفت شدگی پیچیده است و نیاز به تعریف پتانسیل مرکزگرا برای این جفت شدگی است. با قرار دادن این اصلاحات در تابع موج دوترون میتوان به مقادیر بهتری نسبت به قبل رسید. چنین تلاش های انجام شده که در زیر نمونههایی از آن را میآوریم.
در این پایان نامه به بحث در مورد هستهی اتم دوترون[۱۵] می پردازیم که از بسیاری جهات دارای اهمیت است. اول اینکه این هسته سادهترین هستهای است که از بیش از یک هستک تشکیل شده و محسبات روی این هسته می تواند راه گشا، برای کار بر روی هستههای پیچیدهتر و بزرگتر باشد. دوم این که خواص مغناطیسی اتم دوترون از طریق تجربی با دقت خوبی محاسبه شده و این امکان را در اختیار ما قرار می دهد تا بتوانیم نظریه خود را مورد ارزیابی قرار دهیم.
اتم دوترون از یک پروتون و از یک نوترون تشکیل شده است. گشتاور مغناطیسی پروتون برابر با
گشتاور مغناطیسی نوترون برابر با
و مقدار این کمیت برای سیستم بسته این دو یعنی اتم دوترون
است که همانگونه که مشاهده می شود مقدار آن با جمع مقادیر گشتاور مغناطیسی نوترون و پروتون متفاوت است و این بیانگر وجود عوامل موثر دیگر در گشتاور مغناطیسی هستهی اتم دوترون است.
مدل لایه ای
در فیزیک هستهای مدل لایهای هسته مدلی است که در آن برای توصیف ساختار هسته از اصل طرد پائولی و ترازهای انرژی استفاده می‌کند. این مدل اولین بار در سال ۱۹۳۲ توسط دیمیتری ایواننکو[۱۶] ارائه شد. و در سال ۱۹۴۹ مستقلا توسط ویگنر[۱۷]، گوپرت مایر[۱۸] و ینسن[۱۹] تکامل پیدا کرد. مدل لایهای هسته از یک لحاظ شباهتی به مدل لایهای اتم دارد. در هردوی این مدلها لایهای که پرشده باشد دارای پایداری بیشتری است. وقتی که هستکها را به هسته اضافه میکنیم نقاطی هستند که در آن ها انرژی بستگی هستک بعدی به طور قابل ملاحظه‌ای کاهش پیدا می‌کند. این مشاهدات که برای بعضی تعداد هستکها شامل اعداد جادویی ۲، ۸، ۲۰، ۲۸، ۵۰، ۸۲، ۱۲۶ هستکها محکمتر به هم پیوند دارند آغاز راه مدل لایهای بود.
لایه‌ها برای نوترونها و پروتونها مستقل از هم هستند برای همین میتوان هسته‌هایی با اعداد جادویی برای پروتون و نوترون و یا هر دو داشت. بالاترین اعداد جادویی ۱۲۶ است و به طور نظری ۱۸۴ برای نوترون و فقط ۱۱۴ برای پروتون که خود آغاز راه برای انجام مطالعات جدید با نام جزیره‌ی پایداری[۲۰] شد.
برای بدست آوردن چنین اعدادی مدل لایهای از یک پتانسیل متوسط با شکلی بین چاه مربعی[۲۱] و نوسانگر هارمونیک[۲۲] استفاده می‌کند. جفت شدگی اسپین-مداری نیز به این مدل اضافه می‌شود هرچند که حل اختلالی به طور کامل با مقادیر تجربی همخوانی ندارد و ضرایب جفت شدگی متفاوتی با توجه به هستهی مورد مطالعه باید مورد استفاده قرار گیرد.
در زیر نمونه‌ای از محاسبهی گشتاور مغناطیسی هستهی دوترون با بهره گرفتن از مدل لایهای و ترازهای انرژی آمده است.
۱-۲-۱ مدل لایه ای با تصحیحات اسپین-مداری
معرفی نیرو های اسپین- مداری باعث تصحیحاتی در عملگر گشتاور مغناطیسی می شود و بنابراین باعث انحراف مقدار آن از مقدار محاسبه شده توسط رابطه زیر می شود[۱]:
که در آن ، و به ترتیب مقدار مولفهی z گشتاور مغناطیسی های مربوط به دوترون، پروتون و نوترون است، در حالی که مقدار احتمال حالت است. مقدار تجربی سمت چپ معادله (۱-۲) برابر است با:
که در آن همان مگنتون بور[۲۳] است که در آن جرم پروتون جایگزین جرم الکترون شده است.
همان طور که توسط فشباخ[۱][۲۴] نشان داده شده است، اثر ناشی از قسمت اسپین- مداری در برهم کنش های هستک- هستک بر روی گشتاور مغناطیسی توسط رابطه زیر داده می شود:
که در آن فاصله بین ملکولی، ، و به ترتیب تکانه زاویه ای مداری، اسپینی و کل در واحد هستند. مقدار این تصحیحات باید به سمت چپ معادله اضافه شود. با قرار دادن تابع حالت دوترون برای محاسبهی مقدار چشمداشتی تصحیحات:
که در آن و به ترتیب تابع موجهای شعاعی حالتهای و هستند و همینطور در آن و متوسط وزنی روی جرم پایون است. تابع موج سهگانه[۲۵] اسپینی و عملگر تانسوری معمول در فیزیک هسته ای است. به این طریق به دست میآوریم :
که در آن می‌تواند پتانسیل مربوط به سیگنل و مارشاک و یا گامل و تالر باشد.
در آنها و و .[۱]
گروه‌های مختلف پتانسیلهای متفاوتی را به کار بردهاند از جمله پتانسیلی که گروه ییل[۲۶] به کار بردهاند:
که در آن ثابت‌هایی است که در جدول (۱) مرجع شماره[۲] آورده شده است. پتانسیل مورد استفاده توسط هامادا- جانستون[۲۷] به شکل زیر است:
که در آن ثابت های و در مرجع شماره [۳] آورده شده اند.
پتانسیل مورد استفاده رید[۲۸][۴]:
است.
که در نهایت می توان نوشت:
خطا های نسبی برای این محاسبات برابر است با[۵]
مقادیر بدست آمده برای توسط تحقیقاتی که توسط برخی از گروه ها انجام شده است در جدول (۱-۱) آمده است.
این محاسبات در واقع نزدیکترین نتایج به واقعیت را در بین روشهای مختلف به ما میدهد با خطای نسبی برابر با . در پایان این پایان نامه نتایج موارد مختلف را به همراه نتایج به دست آمده از مدل کوارکی ساده مقایسه میکنیم. همان طور که ملاحظه می شود در روشهای فوق پتانسیلها بر اساس حدسیات فیزیکی به صورت دستی وارد محاسبات شده اند. بنابراین این راه حلها برای محاسبهی گشتاور مغناطیسی اتم دوترون به نظر کاملا پایهای نیستند.
| جدول ۱-۱- تاثیرات جفت شدگی اسپین و تکانه زاویهای مداری بر روی گشتاور مغناطیسی هسته اتم دوترون در مدلهای مختلف برهمکنشهای هستهای. | |||||||
| Interaction | |||||||
| Signell-Marshak | ۶٫۷۶ | … | … | ||||
| Gammel-Thaler | ۴٫۳۲ | … | … | ||||
| Yale | ۱٫۹۱۶۵ | ۰٫۹۲۰۴ | ۰٫۴۶۰۷ | ||||
| Hamada-Johnston | ۰٫۵۱۸۱ | ۰٫۱۹۷۲ | ۰٫۰۷۸۲ | ||||
| Reid | ۱٫۱۷۵۰ | ۰٫۳۶۲۲ | ۰٫۱۱۰۹ | ||||
| -۰٫۰۲۲۴ | |||||||
| Feshbach | Mukherjee & Shyam | ||||||
۱-۲-۲ مدل لایه ای با تصحیحات نسبیتی
در حد جابهجایی تکانهی[۲۹] کوچک، چهار قطبی و دو قطبی مغناطیسی کمیتهای خاصی هستند که از اجزای ماتریس جریان دوترون به دست میآیند. پایستگی جریان و این که جابهجایی جریان باید همانند یک چاربردار رفتار کند، شرایط کافی را به روی عملگرهای جریان و بردارهای حالت اعمال می کند. بنا بر این ویژگیهای اصلی محاسبات نسبیتی در نمایش ماتریسی ناوردای پوانکاره، از پایستگی جریان و ساختن مدل بر همکنشی به دست می آید. فراتر رفتن از مدل استاندارد غیر نسبیتی دو چالش را در پی خواهد داشت. یکی محاسبهی تاثیرات نسبیتی و دیگری درجات آزادی غیر نسبیتی. این تاثیرات در دل روشهایی که بر پایه بسطهای اختلالی لحظه ای میدان های مزون-هسته در فضای فوک[۳۰] هستند نهفته است. این گونه بسطها حول توانهای معکوس جرم هستک انجام می شود که خود بر پایه فرض نه چندان قابل اعتماد کوچک بودن تمام تکانهها و انرژیها در مقایسه با جرم هستک بنا شده اند. مدلهای تابع موج هموردا جوابهای نسبیتی دقیقی به ما می دهند که ویژگی مولفهی موج در تابع موج دوترون را به ما می دهد. برای این مدلها درستی بسط چهار قطبی و دو قطبی به صورت عددی قابل تست هستند.
روشهایی که در آن مولفهی جبهه نوری[۳۱] چهار بردار تکانه به صورت جنبشی تبدیل میشوند جوابهای دقیقی به ما می دهند که میتوان با بسط در توانهای معکوس جرم هستک مقایسه کرد. این مدلها می توانند داده های کنونی توابع ساختاری دوترون و را با عدم قطعیتی برابر با مقادیر تجربی ضریب شکل هستک[۳۲] توصیف کنند.
از آنجا که توابع موج غیر نسبیتی هستک-هستک ویژه تابع انرژی سکون و عملگرهای اسپینی و است، می توان آنها را به عنوان ویژه تابع عملگر جرم ناوردای پوانکاره[۳۳] نیز دانست. ویژه توابع چهار بردار کامل تکانه را همیشه می توان از ویژه توابع جرم و سه مولفهی مستقل تکانه ساخت. انتخاب این مولفههای مستقل، فرم دینامیک نسبیتی را مشخص می کند.[۶] به وسیله دینامیک جبههی موج میتوان عملگر جریان پایای هموردا را ساخت که در آن تمام اجزای ماتریس دو جسمی[۳۴] را میتوان به وسیله تبدیلات دینامیکی لورنتس[۳۵] از ماتریسهای جریان یک جسمی[۳۶] به دست آورد و نیازی به دانستن مستقیم این ماتریس دو جسمی برای محاسبهی ضریبهای شکل دوترون نیست، در این صورت آنها از ضریب شکل هستکها به دست میآیند. تاثیرات مستقیم درجات آزادی زیر هستهای مثل مزونها و کوارکها باید در ماتریسهای دو جسمی دیگری اضافه شوند که تاثیر خود را در ضریبهای شکل دوترون میگذارند که خود به طور جداگانه ناوردای لورنتس هستند.
برای در نظر گرفتن تاثیرات نسبیتی در دو قطبی ها و چهار قطبی های مغناطیسی مهم است که ارتباط بین مقادیر تجربی و مقادیر محاسبه شده کمیتها را بدانیم. به طور تجربی، چهار قطبی و دو قطبیهای مغناطیسی به وسیله اندازه گیری تفاوتهای انرژی ناشی از میدانهای خارجی با هامیلتونی
که در آن بردار پتانسیل میدان خارجی و عملگر جریان هستند به دست می آید. چهار قطبی و دو قطبیهای اندازه گیری شده مقادیر چشم داشتی مولفههای تانسور چهار قطبی و بردار دو قطبی مغناطیسی هستند
برای هر تابع هموردایی پوانکارهی عملگرهای جریان به طور کامل اجزای ماتریس را بر اساس فاکتورهای فرم ناوردا معین می کند.
که این نشان دهنده این است که چهار قطبی و دو قطبی دوترون به وسیله
مرتبط با فاکتورهای فرم چهارقطبی و دوقطبی معمول و هستند. مطابق مرجع [۷] گشتاورها را می توان از اجزای ماتریس از مولفهی مثبت عملگر جریان که در آن بردار یکهی که جبههی موج را مشخص می کند طوری انتخاب شده است که . بنا بر این چهار قطبی و دو قطبی مغناطیسی به صورت زیر به دست میآیند:
و
که در آن و به ترتیب جرمهای هستک و دوترون هستند و .
بعد از انجام محاسبات طولانی که برای علاقه مندان در پیوست آمده است به نتایجی که در جدول زیر به آن ها اشاره شده میرسیم.
در این روش چهارقطبی و گشتاور مغناطیسی دوترون برای پتانسیلهای هستهی نرم[۳۷] رید[۴]، آرگون[۳۸] [۸]، پاریس[۳۹][۹]، نیجمگن[۴۰][۱۰] و سه پتانسیل مختلف بن[۱۱,۱۲] [۴۱]محاسبه شده که نتایج را در جداول ۱ تا ۴ می بینید.
| جدول۱-۲ گشتاور چهار قطبی مغناطیسی برای تابع موج های مختلف به ترتیب کاهش احتمال حالت | ||||||||
| Experimental Value | ||||||||
| Potential | ||||||||
| Reid soft core | ۶٫۷۴ | ۰٫۲۸۰۴ | ۰٫۲۷۹۶ | ۰٫۲۷۶۲ | -۳٫۴ | ۷٫۲ | ||
| Argonne v14 | ۶٫۰۸ | ۰٫۲۸۶۶ | ۰٫۲۸۵۹ | ۰٫۲۸۲۷ | -۳٫۲ | ۶٫۸ | ||
| Paris | ۵٫۷۷ | ۰٫۲۷۹۵ | ۰٫۲۷۸۹ | ۰٫۲۷۵۸ | -۳٫۰ | ۶٫۷ | ||
| Nijmegen | ۵٫۳۹ | ۰٫۲۷۸۱ | ۰٫۲۷۷۵ | ۰٫۲۷۴۷ | -۲٫۸ | ۶٫۶ | ||
| Bonn R | ۴٫۸۱ | ۰٫۲۷۴۲ | ۰٫۲۷۳۶ | ۰٫۲۷۱۱ | -۲٫۵ | ۵٫۸ | ||
| Bonn Q | ۴٫۳۸ | ۰٫۲۷۳۹ | ۰٫۲۷۳۴ | ۰٫۲۷۱۱ | -۲٫۳ | ۵٫۲ | ||
| Bonn E | ۴٫۲۵ | ۰٫۲۸۱۲ | ۰٫۲۸۰۶ | ۰٫۲۷۸۴ | -۲٫۲ | ۵٫۳ | ||
|
احتمال حالت چهار قطبی مغناطیسی چهار قطبی مغناطیسی غیر نسبیتی |
اثرات نسبیتی میزان اختلاف بین نظریه و مقدار تجربی مقدار چهار قطبی تخمینی |
|||||||
|
جدول۱-۳- گشتاور دو قطبی مغناطیسی برای توابع موج مختلف به ترتیب کاهش احتمال حالت |
||||||||
| Experimental Value | ||||||||
| Potential | ||||||||
| Reid soft core | ۶٫۷۴ | ۰٫۸۵۰۰ | ۰٫۸۴۲۹ | ۰٫۸۵۱۳ | ۸٫۴ | ۷٫۱ | ||
| Argonne v14 | ۶٫۰۸ | ۰٫۸۵۱۶ | ۰٫۸۴۵۱ | ۰٫۸۵۲۶ | ۷٫۵ | ۶٫۵ | ||
| Paris | ۵٫۷۷ | ۰٫۸۵۳۱ | ۰٫۸۴۶۹ | ۰٫۸۵۴۱ | ۷٫۲ | ۶٫۲ | ||
| Nijmegen | ۵٫۳۹ | ۰٫۸۵۴۹ | ۰٫۸۴۹۱ | ۰٫۸۵۵۶ | ۶٫۵ | ۵٫۸ | ||
| Bonn R | ۴٫۸۱ | ۰٫۸۵۷۷ | ۰٫۸۵۲۴ | ۰٫۸۵۸۲ | ۵٫۹ | ۵٫۳ | ||
| Bonn Q | ۴٫۳۸ | ۰٫۸۵۹۷ | ۰٫۸۵۴۸ | ۰٫۸۶۰۱ | ۵٫۳ | ۴٫۸ | ||
| Bonn E | ۴٫۲۵ | ۰٫۸۶۰۳ | ۰٫۸۵۵۶ | ۰٫۸۶۱۰ | ۵٫۴ | ۴٫۷ | ||
|
دو قطبی مغناطیسی دو قطبی مغناطیسی غیر نسبیتی |
مقدار دو قطبی تخمینی اثرات نسبیتی میزان اختلاف بین نظریه و مقدار تجربی |
|||||||
| جدول۱-۴- سهم در بسط برای چهار قطبی | ||||||||
| Potential | ||||||||
| Reid soft core | ۶٫۷۴ | ۰٫۲۸۰۴ | ۰٫۲۷۹۶ | ۰٫۲۷۶۲ | ۷٫۲ | |||
| Argonne v14 | ۶٫۰۸ | ۰٫۲۸۶۶ | ۰٫۲۸۵۹ | ۰٫۲۸۲۷ | ۶٫۸ | |||
| Paris | ۵٫۷۷ | ۰٫۲۷۹۵ | ۰٫۲۷۸۹ | ۰٫۲۷۵۸ | ۶٫۷ | |||
| Nigmegen | ۵٫۳۹ | ۰٫۲۷۸۱ | ۰٫۲۷۷۵ | ۰٫۲۷۴۷ | ۶٫۶ | |||
| Bonn R | ۴٫۸۱ | ۰٫۲۷۴۲ | ۰٫۲۷۳۶ | ۰٫۲۷۱۱ | ۵٫۸ | |||
| Bonn Q | ۴٫۳۸ | ۰٫۲۷۳۹ | ۰٫۲۷۳۴ | ۰٫۲۷۱۱ | ۵٫۲ | |||
| Bonn E | ۴٫۲۵ | ۰٫۲۸۱۲ | ۰٫۲۸۰۶ | ۰٫۲۷۸۴ | ۵٫۳ | |||
| و تاثیرات نسبیتی تابع موج و تداخل و | و تاثیرات غیر نسبیتی تابع موج و تداخل و | |||||||
| جدول۱-۵- سهم در بسط دو قطبی | |||||||
| Potential | |||||||
| Reid soft core | ۶٫۷۴ | ۰٫۲۷۹۶ | ۰٫۲۷۶۲ | ۷٫۲ | |||
| Argonne v14 | ۶٫۰۸ | ۰٫۲۸۵۹ | ۰٫۲۸۲۷ | ۶٫۸ | |||
| Paris | ۵٫۷۷ | ۰٫۲۷۸۹ | ۰٫۲۷۵۸ | ۶٫۷ | |||
| Nigmegen | ۵٫۳۹ | ۰٫۲۷۷۵ | ۰٫۲۷۴۷ | ۶٫۶ | |||
| Bonn R | ۴٫۸۱ | ۰٫۲۷۳۶ | ۰٫۲۷۱۱ | ۵٫۸ | |||
| Bonn Q | ۴٫۳۸ | ۰٫۲۷۳۴ | ۰٫۲۷۱۱ | ۵٫۲ | |||
| Bonn E | ۴٫۲۵ | ۰٫۲۸۰۶ | ۰٫۲۷۸۴ | ۵٫۳ | |||
| تاثیرات تابع موج |
تاثیرات تابع موج تاثیرات تداخلی و |
||||||
در جداول ۱و ۲ نتایج دقیق نسبیتی، غیر نسبیتی و تخمینی محاسبه شده در بالا قرار داده شده است. تاثیرات نسبیتی مقدار چهار قطبی را ۱۹/۰ % تا ۲۶/۰ % و گشتاور مغناطیسی را ۵۵/۰ % تا ۸۴/۰ % افزایش می دهد. مقادیر به دست آمده از طریق تصحیحات نسبیتی، نسبت به تفاوت موجود بین مقدار تجربی و مقدار غیر نسبیتی کوچک است و کمک زیادی به داده های موجود و ارتقا سطح آن نمی کند. این تصحیحات تفاوت بین مقادیر موجود را با مقادیر تجربی کاهش می دهند اما به آن اندازه که مطابق داده های تجربی موجود باشند نیستند. حساسیت تصحیحات نسبیتی به تغییرات تابع موج در شکل زیر آمده است که نشان دهنده این است که باید تاثیرات جریانهای جا به جایی دیگری نیز برای رسیدن به مقادیر صحیح در نظر گرفته شود. بسط در توانهای به تصحیحات قابل قبولی در گشتاور مغناطیسی می شود.
تصحیحات تخمینی علامت صحیح دارند و مقدار آنها بین ۱۰ % تا ۲۰ % است که بسیار بزرگ میباشد. با این حال برای گشتاور چهار قطبی تصحیحات منجر به مقادیر با علامت و اندازه اشتباه می شود. مقادیر ناشی از توابع موج و و تداخل در جدول ۳ و ۴ آورده شده است.
غیر قابل اطمینان بودن بسط حول توانهای سرعت هستک عجیب نیست. نه تنها سری توانی واگرا است بلکه مقدار چشم داشتی نیز برای هر کدام از انتگرالها برای توانهای به اندازه کافی بزرگ نیز واگرا است. وقتی که توانهای کمتر جوابهای غیر قابل قبولی به ما می دهند، اضافه کردن جملات بعدی کار را خرابتر می کند. در حالت کلی تصحیحات نسبیتی محاسبه شده از طریق بسط حول را باید جعلی دانست مگر آن که با یک آنالیز خطای دقیق توجیه شده باشد.
| شکل ۱-۱ تاثیرات نسبیتی بر گشتاور دو قطبی و چهار قطبی مغناطیسی برای پتانسیل های متفاوت که در جدول ها داده شده است. تصحیحات دقیق نسبیتی با و تصحیحات تخمینی بر اساس بسط با نشان داده شده اند. |
به هر حال از حل معادلات گشتاورهای چهار قطبی و دو قطبی مغناطیسی اتم دوترون با در نظر گرفتن تصحیحات نسبیتی میتوان به جواب هایی از حدود ۲/۰ % برای چهارقطبی و ۷/۰% برای دوقطبی نزدیکتر به مقادیر تجربی رسید. تصحیحات محاسبه شده برای بسط حول توانهای تخمینهای غیر قابل اطمینانی برای تصحیحات نسبیتی را منجر می شود.[۱۳] برای نتایج بهتر از این روش باید تاثیرات درجات آزادی غیر هستهای را در نظر گرفت که باعث جریان بارهای دو ذرهای می شوند. به هر حال در پایان این پایان نامه نیز با مقایسه مقادیر محاسبه می بینیم که نتایج از طریق مدل کوارکی ساده چقدر دقیق تر خواهد بود.
۱-۳ مدل کوارکی
آگاهی فیزیکدانان از وجود ساختار در درون هستکها دریچهی جدیدی به روی شناخت از دنیای هستهای به روی آنها گشود. کوارکها که با نیرویی با بردی کوتاه با یکدیگر برهمکنش انجام می دهند نقش اساسی در شکل گیری هستکها ایفا می کنند. از ترکیب کوارکها به طور کلی میتوان دو نوع از ذره با نامهای باریونها (متشکل از ۳ کوارک) که فرمیون هستند و مزونها (متشکل از ۲ کوارک) که بوزون هستند را ساخت. شش نوع متفاوت از کوارکها وجود دارند که ترکیبات آنها باریونها و مزونهای متفاوت را به وجود میآورند. در این میان پروتون و نوترون پایدارترین این ذرات و از گروه باریون ها هستند. همین دو ذره هستند که هستهی اتم مورد نظر ما یعنی دوترون را به وجود میآورند.
مدل کوارکی ساده مدلی است که بدون در نظر گرفتن هرگونه دینامیک (برهمکنش) بین کوارکی به بررسی خصوصیات ذرهی ساخته شده از آنها می پردازد.
تاکنون با استفاده ازمدل سادهی کوارکی تلاشی توسط آقای یزدان کیش انجام شده که هنوز به چاپ نرسیده است. بدین ترتیب که با فرض این که دوترون از نوترون و پروتون تشکیل شده و هر کدام از آنها از سه کوارک تشکیل شده اند، تابع موج این دو هستک را تشکیل داده و در هم ضرب میکنیم، که حاصل تابع موج دوترون می شود:
سپس با بهره گرفتن از قرار دادن جمع گشتاور مغناطیسی شش کوارک تشکیل دهنده‌ی نوترون و پروتون که شامل ۳ کوارک بالا و سه کوارک پایین است در بین تابع موج و محاسبهی مقدار متوسط به این نتیجه میرسیم:
با توجه به عملگرهای گشتاور مغناطیسی که متناسب با اسپین است و قابل محاسبه برای کوارک ها وقرار دادن آن در معادله بالا میتوان مقدار متوسط آن را محاسبه کرد که نتیجه بسیار خوبی است:
مقدار خطای نسبی این روش برابر است با:
فصل دوم
تقارن در مدل کوارکی ساده
۲-۱ تقارن
بهترین نمونههای تقارن در فیزیک، کریستالها هستند. با این حال در اینجا برای ما تقارن دینامیکی در حرکت، مهم تر از تقارن ایستا در شکل جسم است. یونانی ها اعتقاد داشتند که تقارن در طبیعت، باید مستقیما در حرکت اجسام نمود بیابد. مثلا ستارهها در مدارهای دایروی میچرخند، چون این شکل متقارنترین مدار موجود در طبیعت است. البته سیارات در مدارهای دایروی نمیچرخند و این یک اشتباه واضح در نظریه آنها بود. نیوتون متوجه شد که تقارنهای بنیادین در طبیعت نه در حرکت اجسام مجزا، بلکه در چندین حالت از حرکتهای مختلف آنها قابل یافت است. تقارنها در ظاهر معادلات حرکت باید حضور داشته باشند و نه در برخی جوابهای خاص این معادلات. به عنوان مثال قانون جهانی گرانش نیوتون دارای تقارن کروی است؛ نیرو در تمام جهات یکسان است، با این حال حرکت سیارات در مدارهای بیضوی است. بنابر این تقارن پایهای موجود تنها به طور غیر مستقیم به ما نمایانده شده است. در سال ۱۹۱۷ مفهوم دینامیکی تقارن به طور کامل آشکار شد و در همان سال امی نودر[۴۲] نظریه مشهور خود را که تقارن ها را به قوانین پایستگی مربوط می کرد را منتشر کرده است.
« هر گونه تقارنی در طبیعت به یک قانون پایستگی منجر می شود؛ و بلعکس، هر قانون پایستگی پرده از تقارن نهفته بر می دارد. »
به عنوان مثال قوانین فیزیک تحت تحول زمانی[۴۳] ناوردا می مانند. آنها امروزه همان طور کار می کنند که دیروز میکردند. نظریه نودر این ناوردایی را به پایستگی انرژی مربوط می کند. اگر سیستم تحت جا به جایی در فضا ناوردا بماند آن گاه تکانه خطی پایسته است و اگر تحت دوران حول یک نقطه متقارن بود، آن گاه تکانه زاویهای پایسته میماند. و به طور مشابه، ناوردایی الکترو دینامیک تحت تبدیلات پیمانهای باعث پایستگی بار می شود (که به آن بر خلاف تقارنهای فضایی، تقارن داخلی می گوییم). تقارن در واقع عملی است که اگر آن را روی سیستم انجام دهیم، سیستم ناوردا بماند. مثلا در مورد توابع زوج و فرد بودن می تواند نوعی تقارن به حساب بیاید.[۱۴]
۲-۱-۱ اسپین
مهمترین سیستمهای اسپینی، سیستمهای با اسپین هستند. پروتونها، نوترونها، الکترونها، تمام کوارکها و لپتونها اسپین دارند. به علاوه وقتی کار با اسپین را بلد باشیم، کار با بقیهی سیستمها برای ما بسیار آسانتر خواهد بود. ذرهای با اسپین می تواند مقادیر را برای مولفه محور خود داشته باشد:
گاهی گفته می شود که یک ذره با اسپین می تواند در یکی از این دو حالت وجود داشته باشد، در حالی که این طور نیست. کلی ترین حالت اسپینی که این ذره می تواند در آن قرار گیرد به شکل زیر است:
که در آن و اعداد مختلط هستند. این درست است که با اندازه گیری روی میتوان مقادیر را به دست آورد، ولی بدین ترتیب نمی توان ثابت کرد که قبل از اندازه گیری در کدام حالت قرار داشته است. در حالت کلی احتمال اندازه گیری و احتمال اندازه گیری است. از آنجایی که این دو حالت تنها حالت های قابل دسترس برای ذره هستند، بنابراین:
غیر از فرض تعامد، قید دیگری در اینجا فرض نکرده ایم.
حال فرض کنید که میخواهیم مقدار عملگر های و را برای حالت محاسبه کنیم. تقارن به ما میگوید تنها مقادیری را که میتوان به دست آورد همان است. چون هیچ ترجیحی بین راستاهای محورهای مختصات وجود ندارد و ما میتوانستیم از ابتدا هرکدام از جهتهای دیگر را در نظر بگیریم. اما محاسبهی احتمال به این سادگی نیست. برای هر مولفه ی اسپین یک ماتریس اختصاص می دهیم:
مقادیر ویژه ی ، خواهد بود و ویژه توابع متناظر با آن ها عبارتند از:
یک اسپینور دلخواه را میتوان بر حسب این ویژه توابع بسط داد:
که در آن:
احتمال این که بعد از اندازه گیری، مقدار برابر با بشود است و احتمال این که بدست آوریم است. به طور مشابه .
فرایند کلی که این مثال یکی از انواع آن بود به شکل زیر است:
ماتریس که نمایش گر مشاهده پذیر مورد پرسش است.
مقادیر مجاز برای را ویژه مقادیر میگویند.
حالت سیستم را به صورت ترکیب خطی از ویژه توابع مینویسیم. سپس مجذور هرکدام از ضرایب را محاسبه میکنیم. احتمال وقوع هرکدام از حالتها برابر با مقدار مجذور ضریب مربوطه است.
برای کارهای ریاضی ضریب را از ماتریسهای اسپین حذف میکنیم. به باقی مانده ماتریسها، ماتریسهای پائولی[۴۴] میگویند که دارای خواص ریاضی ویژهای هستند:
به این ترتیب می توان گفت:
به صورتی میتوان گفت که اسپینورها حالتی بین اسکالر (یک مولفه) و بردار (سه مولفه) دارند. اما اسپینورها تحت دوران رفتار دیگری از خود نشان می دهند به طوری که برای این ذرات در صورت داشتن اسپین برابر تحت دوران ۳۶۰ درجه با علامت مخالف ظاهر میشوند که به همین دلیل در گروه شبه بردارها قرار می گیرند.
۲-۱-۲ طعم
اما تقارن در سایر قسمت های فیزیک نیز می تواند وجود داشته باشد. از دیگر خاصیتهای بنیادین ذرات که میتوان در مورد تقارن آن صحبت کرد طعم است که بیانگر آیزو اسپین میباشد.
برای صحبت در این مورد از سال ۱۹۳۲ شروع میکنیم، جایی که خاصیت شگفت انگیز دیگری از نوترون، غیر از بی بار بودن آن ذهن هایزنبرگ[۴۵] را به خود مشغول کرده بود و آن این بود که نوترون بسیار شبیه پروتون است و از لحاظ جرمی نیز بسیار به هم نزدیکند. هایزنبرگ نظر خود را چنین اعلام کرد که نوترون و پروتون می توانند حالتهای مختلف از یک ذره به نام هستک باشند. و از آن جا که انرژی ذخیره شده در میدان الکترو مغناطیسی طبق نظریه انیشتین می تواند عامل افزایش لختی باشد اختلاف جزیی بین دو ذره ناشی از باردار بودن پروتون است. اما مشکل این نظریه این است که طبق آن باید پروتون از نوترون سنگینتر باشد که این طور نیست. اگر بتوان به طریقی از بار موجود صرف نظر کرد طبق نظریه هایزنبرگ این دو ذره باید غیر قابل تمیز باشند و یا به عبارت دیگر نیروی قوی که توسط پروتون احساس می شود باید با نوترون یکی باشد.
برای این مقصود هستک را به صورت یک ماتریس ستونی دو مولفهای در نظر میگیریم:
که در آن
مسلما این چیزی جز یک نمایش جدید نیست اما با بررسی دقیقتری میتوان به تشابهات آن با بحث اسپینورها پی برد و به همین طریق میتوان آیزو اسپین را معرفی نمود. با این که یک بردار در فضای معمولی در راستای محورهای مختصات نیست اما میتوان در فضای مجازی آیزو اسپینی آن را با مولفههای ، و مشخص کرد. یک هستک دارای آیزواسپین و مولفهی سوم دارای ویژه مقدار به معنای پروتون و به معنای نوترون است.
بنابراین پروتون دارای آیزو اسپین بالا و نوترون دارای آیزو اسپین پایین است. اما فیزیک از اینجا وارد ماجرا می شود که طبق گفتهی هایزنبرگ باید نیروی قوی تحت دوران در فضای آیزو اسپینی ناوردا باشد. این یک نوع تقارن داخلی است چون که نه به فضا و نه به زمان معمولی ارتباطی ندارد و فقط به ارتباط دو ذره مربوط است. یک دوران ۱۸۰ درجه حول محور ۱ نوترون را به پروتون و پروتون را به نوترون تبدیل می کند. طبق نظریه ی نودر اگر نیروی قوی تحت دوران در فضای آیزو اسپینی ناوردا بماند، آیزو اسپین در تمام بر همکنشهای قوی پایسته میماند، درست مانند پایستگی تکانهی زاویهای تحت دوران در فضای معمولی.
به زبان نظریه گروه ها، هایزنبرگ اعلام کرد که بر همکنشهای قوی تحت یک گروه داخلی ناوردا هستند و این که هستکها به یک نمایش دو بعدی آیزو اسپین تعلق دارند.
برای کوارکها نیز آیزواسپین وجود دارد که همان طعم آنها است. برای محاسبهی آیزواسپین کل یک هستهی متشکل از چند کوارک به طریقی که تا اندازه‌ای شبیه محاسبهی اسپین کل است عمل میکنیم.
آیزواسپین کل اتم دوترون برابر با صفر است، بنا براین ما در محاسباتمان حالت را جستجو میکنیم که به آن حالت یگانه میگویند. به عنوان مثال اگر هستهی دوترون را فقط متشکل از نوترون و پروتون بگیریم با توجه به این که آیزو اسپین نوترون و آیزو اسپین پروتون است میتوان تابع موج نهایی هستهی دوترون را به شکل های زیر ساخت، حالت سه گانه:
و حالت یگانه:
کاملا واضح است که حالت سه گانه برای دوترون قابل دسترس نیست، چرا که اگر قرار بود که این تابع موج متقارن باشد باید ذرات دوترونی متشکل از دو پروتون و یا دو نوترون نیز در طبیعت وجود می‌داشتند که این طور نیست. پس تنها حالت قابل دسترس حالت کاملا پادمتقارن یگانه است.
۲-۱-۳ پاریته[۴۶]
تا قبل از سال ۱۹۵۶ تصور میشد که قوانین فیزیک دو سویه هستند، به این معنی که تصویر آینهای از هر فرایند فیزیکی بازگوی یک فرایند کاملا قابل قبول و ممکن فیزیکی است. بسیاری از فیزیکدانان این نظریه را بدیهی میپنداشتند. اما در سال ۱۹۵۶ لی[۴۷] و یانگ[۴۸] به این فکر کردند که آیا آزمایشی برای این فرضیه وجود دارد یا نه. با تحقیق در این رابطه به نتایج شگفت آوری رسیدند و آن این که با این که تقارن پاریته برای تمام برهمکنشهای قوی و الکترو مغناطیسی برقرار بود، اما این قضیه در مورد برهمکنشهای ضعیف صدق نمیکرد. آزمایشی طراحی کردند که کمی بعد در همان سال توسط وو[۴۹] انجام شد. در این آزمایش مشهور، هستهی رادیو اکتیو کبالت[۵۰] ۶۰ دچار واپاشی بتا می شود، وو مسیر الکترون ها را مشخص کردو چیزی که میدید بسیار هیجان انگیز بود، زیرا بیشتر الکترونها از جهت شمالی یعنی جهت اسپین کبالت خارج میشدند. این آزمایش به همین سادگی بود اما تاثیرات بسیار عمیقی داشت، چرا که اگر چنین فرآیندی را در جلوی آینه قرار دهیم جهت اسپین هستهی کبالت ۱۸۰ درجه تغییر می کند اما الکترون ها همچنان از بالا خارج می شوند که طبق آزمایش وو این پدیده یک فرایند فیزیکی ممکن نبود.
سرنگونی پاریته تاثیرات عمیقی بر دیدگاه بسیاری از فیزیکدانان گذاشت. نقض پاریته قضیهی کوچکی نبود و فقط به واپاشی بتای کبالت ۶۰ هم محدود نمی شد و البته کمی بعدتر نقض پاریته به عنوان نشانی از برهمکنشهای ضعیف به خصوص در حضور نوترینو[۵۱] ها شد.
پاریته‌ی اتم دوترون زوج است بنابر این کوارکها در حالت تکانهی زاویهای فرد نمی‌توانند قرار بگیرند. این به فرض در حالت پایه قرار گرفتن کوارکها کمک بسیاری می‌کند، زیرا تراز بعدی قابل دسترس برای کوارکها بعد از حالت پایه، حالت است که به معنی انرژی بیشتر برای رفتن به تراز بعدی است و تفاوت انرژی بین این ترازها زیاد است.
۲-۲ مدل گلمان
مندلیف فیزیک ذرات بنیادی، گلمان[۵۲] است، کسی که روش هشتگانه[۵۳] را در سال ۱۹۶۱ معرفی کرد. در واقع روش هشتگانه، باریون ها و مزون ها را با توجه به بار و عدد شگفت[۵۴] آنها در دسته های هشت تایی با اشکال هندسی عجیب قرار میدهد. هشت باریون سبک در آرایهای شش ضلعی با دو راس در مرکز آن قرار می گیرند:
| شکل۲-۱- هشت تایی باریونها |
این گروه به گروه هشت تایی[۵۵] باریون مشهور است. توجه کنید که ذراتی با بار مشابه در راستای خط اریب رو به پایین قرار دارد. (با واحد بار پروتون) برای پروتون و . برای نوترون، ، و و برای و .
هشت مزون سبک (مزون های شبه اسکالر) در آرایشی هشتگانه مشابه با آرایش باریونها قرار میگیرند.
این بار نیز خطوط اریب برای ذرات با بار مشابه و خطوط افقی نشان دهنده ذرات با عدد شگفت[۵۶] برابر است. بعد از سال ۱۹۶۱ عبارت دیگری به اسم ابر بار[۵۷] معرفی شد که مقدار آن برای مزونها[۵۸] برابر با S (عدد شگفت) و برای باریون[۵۹] ها برابر با S+1 است. اما بعدها مشخص شد که شگفتی، کمیتی بهتر است و بدین ترتیب بار اضافی به مرور از گردونه خارج شد.
شش ضلعیها تنها اشکال موجود در روش هشتگانه نیستند. آرایش مثلثی نیز وجود دارد که شامل ۱۰ ذره است و تنها یکی از آن ها در مرکز قرار می‌گیرد که به آن دهتایی[۶۰] باریونی گفته می شود.
| شکل۲-۲- هشت تایی مزونها |
در زمانی که گلمان سعی میکرد این آرایش ذرات ده تایی را ایجاد کند، هنوز ذرهای که در پایین این مثلث قرار دارد و دارای بار ۱- و عدد شگفت ۳- است، در هیچ آزمایشگاهی مشاهده نشده بود. ولی گلمان با پا فشاری پیش بینی میکرد که این ذره به زودی کشف خواهد شد. در واقع خیلی زود در سال ۱۹۶۴ این ذره، دقیقا با خصوصیات پیش بینی شده توسط گلمان در آزمایشگاه مشاهده شد.
بعد از کشف امگای منفی تا مدت زیادی کسی به درستی روش هشتگانه شکی نداشت. علاوه بر باریونهای هشتایی و دهتایی و غیره، یک هشت تایی و یک ده تایی نیز برای پاد باریونها[۶۱] با بار و شگفتی قرینه وجود دارد.
| شکل ۲-۳- ده تایی باریونها |
طبقه بندی در مرحله ی اول پیشرفت در هر علمی است. روش هشتگانه چیزی بیشتر از یک طبقه بندی ساده انجام داد. اهمیت اصلی آن در ارئه ی ارگانیسم ساختار هادرونها بود. این طبقه بندی آغاز یک دوره جدید در فیزیک ذرات بود.
اما موفقیت روش هشتگانه این سوال را برای ما پیش می آورد که چرا هادرونها در این طبقه بندی خاص قرار می گیرند؟ جدول مندلیف برای کشف کوانتوم مکانیک و اصل طرد پائولی[۶۲] مدت زمان بسیاری صبر کرد در حالی که روش هشتگانه در سال ۱۹۶۴با کشف جدا گانه زویگ[۶۳] و گلمان در مورد این که هادرونها خود از ذرات بنیادی کوچکتری که آنها را کوارک نامیدند تشکیل شده اند، بسیار سریع مشخص شد.
۲-۲-۱ گروهبندی کوارک ها
کوارکها در روش هشتگانه مثلث زیر را تشکیل می دهند:
| شکل ۲-۴- سه تایی کوارکها |
چنین مثلثی برای پاد کوارکها نیز وجود دارد. مدل کوارکی فرض می کند:
هر باریون از ۳ کوارک و هر پاد باریون از ۳ پاد کوارک تشکیل شده است.
هر مزون از یک کوارک و یک پاد کوارک[۶۴] تشکیل شده است.
با توجه به این دو قانون، ساختن دهتاییهای باریونی و هشتتاییهای مزونی فقط به یک حساب ساده نیاز دارد. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که تمام ترکیبهایی که می شود را از این کوارکها بسازیم و بار و شگفتی آنها را با هم جمع کنیم:
| جدول ۲-۱ | |||
| ده تایی باریونها | |||
| باریون | عدد شگفت | بار | کوارک |
| ۰ | ۲ | ||
| ۰ | ۱ | ||
| ۰ | ۰ | ||
| ۰ | -۱ | ||
| -۱ | ۱ | ||
| -۱ | ۰ | ||
| -۱ | -۱ | ||
| -۲ | ۰ | ||
| -۲ | -۱ | ||
| -۳ | -۱ | ||
| جدول ۲-۲ | |||
| نه تایی مزونها | |||
| باریون | عدد شگفت | بار | کوارک-پاد کوارک |
| ۰ | ۰ | ||
| ۰ | ۱ | ||
| ۰ | -۱ | ||
| ۰ | ۰ | ||
| ۱ | ۱ | ||
| ۱ | ۰ | ||
| -۱ | -۱ | ||
| -۱ | ۰ | ||
| ?? | ۰ | ۰ | |
| ?? ترکیبی از کوارکهای بالا،پایین و شگفت | |||
توجه کنید که تنها ۱۰ ترکیب از ۳ کوارک وجود دارد. با روش مشابهی میتوان به ترکیبهای کوارک پاد کوارک برای مزونها رسید.
همان طور که در دهتایی باریونها مشاهده می شود دلتای مثبت و پروتون هردو از دو کوارک بالا و یک کوارک پایین تشکیل شده است. پس این دو ذره باید حالتهای مختلف یک ذره باشند. همانطور که اتم هیدروژن دارای ترازهای مختلف انرژی است. اما تفات در این است که در مورد هیدروژن و نظیر آن، فاصلهی بین ترازهای انرژی تنها چندین الکترون ولت است که در مقابل ذراتی که جرم سکون آنها، الکترون ولت است بسیار ناچیز بوده و ما تمام این ذرات نظیر هیدروژن را یک ذره می بینیم در حالی که در مورد کوارکهای درون هستکها انرژی بین ترازها آن قدر زیاد است که ما حالتهای مختلف را به شکل ذرات مختلف میبینیم. توجه داشته باشید که با توجه به این اصول میتوان گفت که به وسیله ۳ کوارک میتوان بینهایت هادرون[۶۵] به وجود آورد. اما در عین حال چندین حالت وجود دارد که ما آنها را نداریم. مثلا باریونی با بار ۲- وجود ندارد، همین طور مزونی با بار ۲+ و شگفتی ۳- نیز وجود ندارد. تلاش های زیادی برای کشف چنین ذرات عجیبی شده است، که میتوان گفت کشف آنها ضربهی بسیار بزرگی به مدل کوارکی خواهد بود، اما تا کنون هیچ کدام از آن ها دیده نشده اند. با این حال در مدل کوارکی مشکلی وجود دارد و آن این است که با تمام تلاشهایی که تا کنون انجام شده، هنوز یک کوارک تنها مشاهده نشده است. با این که به نظر می رسد با شلیک یک ذره با انرژی کافی به یک هستک میتوان کوارک را پراکنده کرد و با توجه به کسری بودن بار کوارک و این که سبک ترین ذره با بار کسری است و نمی تواند به ذره کوچکتری واپاشی کند به راحتی آن را آشکارسازی و جمع آوری کرد، اما تا کنون چنین موفقیتی حاصل نشده است.
این ناتوانی در ایجاد کوارک تنها، برای بعضی دانشمندان باعث شک کردن به مدل کوارکی شده، در حالی که بهانه دانشمندانی که هنوز به این مدل اعتقاد دارند این است که شاید کوارک باید در باریون و یا مزون بسته بندی باشد. هر چقدر که انرژی صرف کنیم، بیرون آوردن یک کوارک غیر ممکن است. البته این قضیه چیزی را توضیح نمیدهد و تنها اسمی برای نا امیدی ما است. با این حال تلاش های بسیاری انجام می شود تا سازوکار بسته بندی بودن کوارکها را توضیح دهد.
اما این که کوارکها نمی توانند به صورت آزاد دیده شوند باعث نمی شود که ما نتوانیم آنها را آشکار سازی کنیم. روش کار همان است که رادرفورد برای تشخیص این که اتمها از ذرات ریزتری تشکیل شده اند استفاده کرد. باید با ذرات پر انرژی هادرونها را بمباران کنیم و نتیجه پراکندگی را بررسی کنیم. این نتایج نشان دهنده این است که هادرونها ساختار درونی دارند (شکل ۲-۵).
البته در مورد پروتون این پراکندگی نشان دهنده این است که بار مثبت در سه نقطه وجود دارند که حمایت کننده نظریه کوارکی است.
در این زمان به نظر میرسید که کوارکها که دارای اسپین هستند اصل طرد پائولی را نقض می کنند. دلیل آنها هم این بود که ذره ی که از سه کوارک آپ تشکیل شده است که با توجه به این که هر سه دارای یک طعم (آیزواسپین) هستند و فقط دو حالت اسپینی برای آنها وجود دارد، نمی توانند هر سه تای آنها در یک حالت وجود داشته باشند. این موضوع برای مدت زیادی ذهن دانشمندان را مشغول کرده بود، تا این که گرینبرگ[۶۶] این مشکل را حل کرد. او بیان کرد که کوارکها نه تنها از طعمهای مختلف تشکیل شده اند بلکه هر کدام از این طعمها دارای سه رنگ مختلف هستند (قرمز، سبز و آبی). در مورد باریونها به سادگی هر کوارک را از یک رنگ در نظر میگیریم. این باعث می شود که دیگر کوارکهای بالا موجود در یکسان نباشند. از آنجایی که اصل طرد پائولی فقط برای ذرات تمیز ناپذیر است پس مشکل حل شده است.
بررسی کردن باریونها به چند دلیل سخت تر از مزونها است. اول این که باریونها سیستم های سه ذره ای هستند، در اینجا دو تکانه زاویه ای مداری به جای یکی وجود دارد که البته برای سادگی کار ما هردو آنها را در حالت پایه در نظر می گیریم . در این حالت تکانه زاویهای کل باریون فقط از اسپینهای کوارکها تشکیل می شود. حال ما ۳ کوارک داریم که هر کدام می تواند دو حالت اسپینی داشته باشد، بنابر این ۸ حالت مختلف برای این ۳ ذره وجود دارد.
| شکل ۲-۵- زاویه‌ی پراکندگی برای اتم و پروتون |
حال باید حالتهایی را که ویژه حالتهای تکانه زاویهای کل باشد را تشکیل دهیم:
ترکیبات با اسپین کاملا متقارن[۶۷] هستند، به این معنی که هرکدام از جفت ذرات را با هم جابهجا کنیم، حالت تغییری نخواهد کرد. اما ترکیبات با اسپین کل به طور جزئی پاد متقارن[۶۸] هستند، یعنی اگر جای دو ذره خاص را با هم عوض کنیم، حالت به دست آمده قرینه می‌شود. در دستهی اول، حالت نسبت به جا به جایی ذرات ۱و۲ و در دستهی دوم، حالت سیستم نسبت به جابه جایی ذرات ۲و۳ پادمتقارن هستند.
میتوان حالتی را که ذرات نسبت به ذرات ۱و۳ پادمتقارن باشند را نیز در نظر گرفت، اما این حالت چیزی جز ترکیب خطی از دو حالت دیگر نیست:
به زبان نظریه گروه ها، ضرب مستقیم سه نمایش بنیادی (با دو بعد) از SU(2) به جمع مستقیم یک نمایش چهار بعدی و دو نمایش دو بعدی تبدیل می شود:
دومین علت پیچیدهتر بودن باریونها مربوط به اصل طرد پائولی می شود. در فرمولبندی اولیه، پائولی این قضیه را این طور بیان کرد که هیچ دو الکترونی نمی توانند در یک حالت کوانتمی قرار گیرند. این اصل برای توضیح این که چرا الکترونها در یک اتم به راحتی در تراز انرژی حالت پایه قرار نمی گیرند، طراحی شد. آنها نمی توانند این کار را انجام دهند چون فقط دو تا از آنها، یکی با اسپین بالا و یکی پایین، می توانند در آن باشند. بعد از این که این ترازها پر شد، الکترون بعدی مجبور به قرار گرفتن در تراز اول برانگیخته می شود و این اتفاق همین طور تکرار می شود تا الکترونها هر کدام در تراز خود قرار گیرند. در اینجا به نظر میرسد که اصل طرد پائولی فقط به این یک کار می آید، اما این اصل ریشه در چیزی عمیقتر دارد.[۱۴]
۲-۲-۲- ساختار درونی باریونها
در حالت خاص، اگر بخواهیم دو فرمیون مشابه را در یک حالت قرار دهیم، تابع موج کلی سیستم صفر خواهد شد. که این اصل طرد پائولی است. همان طور که میبینیم این اصل، تک کاره نیست و بلکه یکی از نیاز های ساختاری تابع موج ذرات تمیزناپذیر است. برای بوزونها اصل طرد پائولی وجود ندارد و ما می توانیم مثلا هر تعداد مزون را در یک حالت کوانتومی قرار دهیم. در مورد ذرات تمیز پذیر نیز چنین مشکلی وجود ندارد و به هیچ تقارنی نیازی نیست، مثلا مزونها از یک کوارک و یک پاد کوارک تشکیل شده اند که از هم تمیز پذیر هستند. اما در مورد باریونها، ما باید ۳ کوارک را در کنار یکدیگر قرار دهیم که اگر دو یا بیش تر این کوارکها مشابه باشند، باید پاد متقارن بودن تابع موج را در محاسبات بیاوریم.
تابع موج باریونها از چند قسمت تشکیل شده است؛ قسمت فضایی که مکانهای سه کوارک را توصیف می کند؛ قسمت اسپینی که اسپین آن ها را بررسی می کند؛ قسمت طعم[۶۹] که نشان میدهد چه ترکیبی از کوارکها در باریون قرار دارند؛ و قسمت رنگ[۷۰] که بیان می کند هرکدام از این کوارکها چه رنگی دارند:
کل این تابع موج است که باید نسبت به جابهجایی هر دو ذره مشابه پاد متقارن باشد. ما در مورد شکل تابعیت حالت پایه کوارکها چیزی نمیدانیم، تنها میتوان گفت که متقارن است، چون به عدد کوانتومی تکانه زاویهای بستگی ندارد، چون .
قسمت اسپینی می تواند هم کاملا متقارن باشد() و یا این که تقارن جزیی داشته باشد (). همین نکته نیز در مورد طعم وجود دارد. با کمی تحقیق میتوان دید که برای سه کوارک سبک یک دهتایی، دو هشتتایی و یک یکتایی[۷۱] وجود دارد:[۱۴]
در انتها نوبت به قسمت رنگ میرسد. تمام ذراتی که در طبیعت یافت میشوند بیرنگ هستند. مزونی که دارای یک کوارک قرمز است باید یک پاد کوارک با پادقرمز داشته باشد و هر باریون باید یک کوارک از هر رنگ داشته باشد. این دید ساده به یک نظریه عمیقتر است:
« تمام ذراتی که به طور طبیعی در طبیعت یافت میشوند تکتایی رنگ هستند.»
سه رنگ یک گروه را تشکیل می دهند. دقیقا مثل سه طعم کوارکهای سبک. بنابراین رنگها هم یک دهتایی، دو هشتتایی و یک یکتایی تشکیل می دهند، اما طبیعت فقط یکتایی را انتخاب می کند، چون اگر این طور نبود از یک ذره باید با رنگهای مختلف موجود بود و در نتیجه قسمت رنگ باریون به شکل زیر در می آید:
چون قسمت رنگ برای تمام باریونها یکسان است معمولا آن را به طور مستقیم وارد محاسبات نمیکنیم. اما بسیار مهم است که به خاطر بسپاریم که این قسمت از تابع موج پاد متقارن است که موجب می شود باقی ماندهی تابع موج، متقارن باشد. در حالت خاص که قسمت فضایی را در حالت پایه در نظر میگیریم که متقارن است، باید ضرب قسمت های اسپین و طعم کاملا متقارن باشد. این به این معنی است که اگر با قسمت متقارن در اسپین شروع کردیم باید طعم نیز متقارن باشد.
قسمت تقارنهای ترکیبی کمی پیچیدهتر است، چون در اینجا باید حالتهایی با تقارن ترکیبی را طوری در کنار هم قرار دهیم تا یک حالت کاملا متقارن بسازیم. برای این کار ابتدا حالتی را که تابع موج اسپینی نسبت به ذره ۱و۲ پادمتقارن است را در نظر بگیرید. اگر این قسمت در حالت طعم که آن هم نسبت به ۱و۲ پاد متقارن باشد ضرب شود نتیجه نسبت به ذرهی ۱و۲ متقارن خواهد بود. به همین ترتیب در مورد تابع موجهایی که نسبت به ذرات ۲و۳ و همچنین ۱و۳ پاد متقارناند. و اگر این ۳ حالت را با هم جمع کنیم نتیجه نسبت به هر سه ذره متقارن خواهد بود:
برای محاسبه ی ضریب این تابع موج باید به این نکته توجه داشت که قسمت پادمتقارن تابع موج اسپین و طعم نسبت به ذرهی ۱و ۳ از قسمت پادمتقارن تابع موج اسپین و طعم نسبت به ذرهی ۱و۲ و نسبت به ۲و۳ مستقل خطی نیست بلکه جمع این دو حالت است. این باعث وجود جمله های تکراری در تابع موج کل می شود. به عنوان نمونه:
که با بهنجار کردن به این نتیجه میرسیم که:
چگونگی محاسبهی این تابع موج در فصل سوم آمده است.
فصل سوم
محاسبه گشتاور مغناطیسی توسط مدل کوارکی ساده
۳-۱ ساختار تابع موج دوترون
برای ساختن تابع موج دوترون باید از ضرب چهار قسمت مکانی، زمانی، طعم و رنگ استفاده کنیم. در این پایان نامه سعی بر این است که هستهی دوترون را متشکل از ۶ کوارک در نظر بگیریم. اما این ۶ کوارک به طور ساده نوترون و پروتون نیستند. نکتهی کلیدی در این محاسبات مربوط به قسمت رنگ تابع موج است که به زودی توضیح داده خواهد شد.
برای قسمت مکانی برای ساده سازی، کوارکها را در حالت پایه یعنی تکانه زاویهای صفر قرار میدهیم. در این حالت قسمت مکانی کاملا متقارن است و تکانهی کل فقط از اسپین ذرات تشکیل شده است. حال از باقی تابع حالت فقط قسمت اسپینی ، طعم و رنگ باقی می ماند. قسمت اسپینی دوترون باید طوری طراحی شود که اسپین کل برابر با ۱ باشد. برای محاسبهی گشتاور مغناطیسی از بزرگترین مولفهی گشتاور روی محور z استفاده میکنیم. از آنجایی که دوترون ذرهای با اسپین ۱ است پس حالت مورد نظر ما است که میباشد.
در عین حال باید قسمت طعم که بیانگر آیزو اسپین[۷۲] است را نیز بررسی کنیم. شش کوارک تشکیل دهنده دوترون سه کوارک بالا و سه کوارک پایین هستند. بنابر این آیزو اسپین کل صفر مورد نظر ماست. یعنی حالت یگانه[۷۳] که بعدا به آن اشاره خواهد شد را در نظر بگیریم. اما مهم ترین نکتهای که تا کنون هنوز به آن نپرداخته ایم، قسمت رنگ است که نتیجه گیریهای ما را کاملا تغییر میدهد.
همان طور که میدانیم، رنگ نیز یکی از اعداد کوانتومی نشان دهنده حالت دستگاه است. این موضوع زمانی اهمیت پیدا می کند که ما در دستگاه با ذرات مشابه کار میکنیم. به خصوص اینکه در این حالت مورد بررسی، شش فرمیون داریم که از دو دستهی سه تایی از ذرات مشابه تشکیل شده است. با توجه به این که حالتهای اسپینی کل قابل قبول برای این فرمیونها (کوارک ها) برابر ۲ است، حد اقل دو تا از این سه ذره برای تشکیل حالت اسپینی کل ۱ در حالتی مشابه قرار می گیرند؛ بنا بر این تنها نکته ای که برای رعایت اصل طرد پائولی باقی می ماند عدد کوانتومی رنگ است. پس حالت رنگی که در آنها ضرب می شود باید رنگهای متفاوتی به این ذرات مشابه با اسپینهای یکسان بدهد.
نکتهی دوم که باید در نظر گرفته شود اصلی است که در مورد عدد کوانتومی رنگ وجود دارد: « تمام ذراتی که به طور طبیعی در طبیعت وجود دارند حالت یگانهی رنگ (بی رنگ) هستند». این اصل که از یکتا بودن مقدار تابع موج نتیجه گیری می شود علاوه بر این که بیان کننده بیرنگ بودن تمام ذرات طبیعی موجود در طبیعت مثل دوترون است به ما می گوید که قسمت رنگ تابع موج باید پاد متقارن باشد چون حالت یگانه، کاملا پادمتقارن است.
ولی این جا مشکلی وجود دارد: تعداد رنگهای قابل دسترس برای کوارکها سهتا است (قرمز، آبی و سبز). مجموعه این سه رنگ با هم حالت بدون رنگ را به وجود می آورد، بنابراین در قسمت رنگ تابع موج، برای بیرنگ بودن از هر رنگی دو تا باید وجود داشته باشد. اگر به هر کدام از کوارکهای بالا رنگ های متفاوت داده شود و به هریک از کوارک های پایین رنگی متفاوت، مشکلی از این لحاظ برای اصل طرد پائولی وجود ندارد اما با این کار ما به کل دستهی شش تایی کوارک ها متمایز نگاه کردهایم و نمی توان یک حالت کاملا پاد متقارن برای قسمت رنگ تابع موج کلی به دست آورد. در غیر این صورت با جابهجایی رنگها بین کل کوارکها حالت کاملا پاد متقارن برابر با صفر خواهد بود، زیرا حد اقل دو سطر از سطرهای دترمینان تشکیل دهنده حالت یگانه با هم برابر می شود. پس باید چارهای اندیشید.
در مورد باریونها چون از هر ۳ رنگ در آنها وجود دارد و آنها نیز از ۳ کوارک تشکیل شده اند، و هر کوارک یک رنگ را انتخاب می کند تا باریون بیرنگ باشد، چنین مشکلاتی پیش نمیآید چون در هر حالت تمام کوارک ها حد اقل در یکی از اعداد کوانتومی خود با یکدیگر تفاوت دارند. بنابر این تنها حالتی که با سه رنگ و سه کوارک در حالت پایه و تکانه زاویهای مداری صفر میتوان یک ذرهی طبیعی با کوارکهای مشابه بی رنگ ساخت باریونها هستند.
چارهای که در این پایان نامه اندیشیده شده است این است که این کوارکهای درون هسته به طور مداوم به دو خوشهی سهتایی تقسم می شود و در لحظه بعد دوباره به دو سه تایی جدید تقسیم میشوند. چون با وجود سه رنگ، حالتهای بیرنگ طبیعی و پادمتقارن فقط در باریونها اتفاق میافتد، بنا بر این شش کوارک را باید طوری در نظر بگیریم که تمام دستههای سهتایی ممکن را در بر بگیرند.
با پاد متقارن بودن قسمت رنگ، فقط حل کردن قسمت طعم و اسپین برای هر کدام از ین سه تایی ها باقی میماند که باید متقارن باشد. این باعث پاد متقارن بودن تابع موج کلی می شود،چون سیستم از فرمیونها تشکیل شده است.
تمام سهتاییهایی که از این شش کوارک تشکیل میشوند عبارتند از:
| شکل ۳-۱- نحوه انتخاب دو کوارک پایین و یک کوارک بالا از بین شش کوارک شامل سه کوارک بالا و سه کوارک پایین | ||
علت این است که با انتخاب سهتایی اول که اولین باریون را تشکیل میدهد، با توجه به موارد قابل قبول از لحاظ اسپین و طعم برای تشکیل دوترون، سه تایی دوم قابل پیش بینی است.
با توجه به نوع قرار گیری اسپین و طعم این ذرات میتوان تعداد ترکیب هرکدام از این جفتهای سهتایی را محاسبه کرد.
میتوان دید که جفت فقط در دو حالت امکان پذیر است و آن این است که سهتایی اول یا هرسه، کوارک بالا و یا کوارک پایین باشند. اما برای دیدن تعداد حالات هرکدام از ذرات دیگر باید دقت بیشتری کرد. میخواهیم از درون کیسهای که شش کوارک، شامل سه کوارک بالا و سه کوارک پایین است، به طور تصادفی سه کوارک خارج کنیم. به نه حالت مختلف می توان دو کوارک پایین و یک کوارک بالا را انتخاب کرد، که با توجه به اسپین کل این ذره می تواند نوترون و یا باشد، پس ۵۰% این احتمال به هر کدام از این ذرات میرسد، اما ذرهای که با آن جفت می شود و سهتایی دوم است مشخصا دارای دو کوارک بالا و یک کوارک پایین است و می تواند پروتون و یا باشد. تعداد حالتهای دو کوارک پایین و یک کوارک بالا نیز همین مقدار می شود. با توجه به این موضوع تعداد کل حالات برابر با ۲۰ است.
جفتهای ممکن به صورت زیر هستند:
کاملا واضح است که چهار جفت اول احتمال وقوع یکسانی دارند پس هر کدام از جفتها از احتمال برداشتن بعلاوهی را در اختیار میگیرند چون زوج نوترون و پروتون با پروتون و نوترون هیچ تفاوتی ندارد. ()
احتمال وقوع و ، احتمال وقوع نوترون و پروتون، احتمال وقوع نوترون و ، احتمال وقوع پروتون و، و احتمال وقوع و وجود دارد که باید در ایجاد تابع موج کلی در نظر گرفته شوند.
۳-۲ محاسبهی تابع موج اتم دوترون
حال مشغول محاسبهی تک تک این حالتها می شویم. قسمت رنگ را قبلا بررسی کردیم که برای تمامی این حالتها یکسان است .حالت یگانهای که برای سه رنگ وجود دارد به شکل زیر است.
حال محاسبات مربوط به قسمت اسپینی و طعم ذرهی را که از سه کوارک بالا تشکیل شده و اسپین کل آن باید است را انجام میدهیم. زیرا حالت طعم متقارن است و در نتیجه قسمت اسپینی آن نیز باید متقارن باشد. پس:
که در آنها () نشان دهنده حالت بالای اسپینی و (-) حالت پایین اسپینی است. این حالتهای اسپینی به راحتی از کوانتوم مکانیک با اثر دادن عملگر نردبانی بر روی حالت بیشینه اسپینی به دست میآیند:
تاثیر این عملگر بر روی تابع موج از رابطه زیر به دست می آید و یک واحد از مولفهی z ذره کم می شود.
برای ذرهی نیز به همین ترتیب داریم:
برای جمله اول تابع موج دوترون داریم:
این رابطه بدین طریق به دست می آید که بعد از این که ما خوشههای سهتایی را برای شش کوارک در نظر گرفتیم، و تابع موجهای این خوشههای سهتایی را نوشتیم، حال هرکدام از این خوشههای سه تایی، فرمیون هستند و ما باید تابع موج دوترون را با بهره گرفتن از این دو فرمیون که تابع موجهای آنها را میدانیم بنویسیم.
برای این که بدانیم این ضرایب از چه طریقی به دست آمده‌اند به طریق زیر عمل میکنیم. با داشتن دو فرویون با اسپین حالتهای قابل دسترس برای اسپین کل برابر است با:
با توجه به این که اسپین کل هستهی دوترون ۱ است و حالت مورد نظر ما برای این هسته است، با بهره گرفتن از شرایط تعامد و بهنجار بودن این حالت را محاسبه میکنیم.
قبل از شروع محاسبات لازم است به این نکته اشاره شود که حالت اسپین کل و اسپین تک تک ذرات به صورت زیر خلاصه شده است:
میدانیم:
و به همین طریق:
برای رسیدن به جواب مورد نظر ما از حالت سه همین مقدار کافی است. حال به سراغ حالت دو میرویم. برای تشکیل مولفهی به بزرگی دو، فقط دو حالت برای دسترس وجود دارد:
معادله‌ی بالا معادله‌ای با دو مجهول است که به راحتی با شرایط تعامد و بهنجار بودن که در ابتدا (۳-۱۷) ذکر شد به دست میآیند:
حال به سراغ حالت یک میرویم. تنها سه ترکیب وجود دارد که می‌تواند به ما اسپین کل یک را بدهد:
با داشتن دو شرط تعامد () و یک شرط بهنجار بودن () میتوان سه مجهول موجود در معادله را محاسبه کرد که نتیجه و ضرایب مورد نظر ما خواهند بود:
حال با توجه به مطلب مذکور به این نتیجه میرسیم که:
که دارای ۱۵ جمله است. حال به سراغ توابع موج ذرات و که حالتهای برانگیختهی پروتون و نوترون هستند میرویم. این ذرات نیز دارای توابع موج اسپینی و طعم متقارن هستند:
که برابر است با:
که ۱۳۵ جمله دارد.
برای پروتون و نوترون این قضیه کمی پیچیدهتر است. حال پروتون که ذرهای با آیزو اسپین است را محاسبه می کنیم:
که قسمت تابع موج طعم است که به طور جزئی و نسبت به ذرات اول و دوم پاد متقارن است. که در نهایت برای تبدیل ضرب قسمت اسپین و طعم به یک تابع متقارن، این تابع باید در جمله اسپینی نظیر که نسبت به همین دو ذره پاد متقارن است، ضرب کنیم. همچنین باید توجه داشت که تمام جایگشتهای پاد تقارن را نیز باید در نظر گرفت، یعنی توابعی که نسبت به سایر جفتها به طور جزئی پاد متقارن هستند نیز باید وارد شود. در اینجا برای نمونه فقط یکی از این قسمت ها را آوردهایم. بقیهی قسمت ها را هنگام محاسبه وارد می کنیم.
قسمت پروتونی و نوترونی تابع موج دوترون به صورت زیر میباشد:
حال باید تابع موج کامل پروتون و نوترون را نوشته و در هم ضرب کنیم. برای قسمت اول داریم:
که بعد از ضرب شامل ۱۴۴ جمله است:
حال فقط دو قسمت از تابع موج کلی سیستم باقی مانده است؛ ابتدا ترکیب و نوترون:
که در آن ضرایب به همان طریقه‌ی قبل محاسبه شده‌اند. این عبارت برابر است با:
که ۱۰۸ جمله دارد. و ترکیب پروتون و :
که باز هم ۱۰۸ جمله دارد.به همین طریق، تابع موج کلی محاسبه می شود.
۳-۳- محاسبهی گشتاور مغناطیسی هستهی اتم دوترون
تنها کار باقی مانده محاسبه ی کمیت مورد نظر یعنی گشتاور مغناطیسی است. مولفه ی z گشتاور مغناطیسی کوارک های بالا و پایین به شکل زیر محاسبه می شود[۱۴]:
که در آن اندیس نشان دهنده نوع باریونی است که این کوارک ها در آن محبوسند، مثل ، و … و جرمها جرم موثر این کوارکها در باریون مورد نظر است. جرم خالص کوارکها در PDG برابر است با ( ). مقدار جرم موثر این دو کوارک را از [۱۴,۱۵] ، برای ذرات پروتون و نوترون و برای جرم این دو کوارک در حالت بسته ذرات دلتا قرار میدهیم. قرار می دهیم که جرم موثر کوارک در باریون است. حال به قسمت محاسبهی این کمیت میرسیم که به علت تعداد زیاد جملههای تابع موج کاری پر زحمت به نظر میرسد، اما با کمی هوشیاری میتوان این محاسبات را با دست و نسبتا سریع انجام داد. نکتهی قابل توجه این است که برای محاسبهی گشتاور مغناطیسی کل، فقط نیاز به نگاه کردن به قسمت طعم و اسپین داریم و میدانیم که اگر در حالتی، مثلا یک کوارک پایین با اسپین و یکی با اسپین موجود باشد این دو اثر یکدیگر را خنثی می کنند. از رابطه به دست میآوریم:
حال این محاسبات را آغاز می کنیم. برای دوترونی که از و تشکیل شده تابع موج از رابطه بدست می آید:
که در آن علامت داخل پرانتز نشانهی اسپین کوارک است. حال به حل نمونه ای دیگر میپردازیم. با توجه به رابطه :
حال برای پروتون و نوترون با بهره گرفتن از رابطه :
اکنون فقط دو تابع موج دیگر برای محاسبه باقی مانده است. با توجه به رابطه داریم :
و با دانستن داریم:
با دانستن احتمالات جفتهای مختلف و گشتاور مغناطیسی آنها میتوانیم مقدار متوسط گشتاور دوقطبی دوترون را محاسبه کنیم:
به طور متوسط، مقدار این کمیت به صورت زیر در می آید:
که میتوان با مقدار تجربی به دست آمدهی آن ، مقایسه کرد:
کهاز دقت نسبتا خوبی برخوردار است:
مقدار این خطای نسبی برای مدل لایهای حد اقل است.
مقدار خطای نسبی در این روش مقداری بیشتر از مدل لایهای است، اما این اختلاف می تواند به دو علت باشد. اولی جرم موثر کوارک در ذرات دلتا که خیلی دقیق نیست و دیگری جزییاتی است که در اینجا ساده سازی شده است. با توجه به این موضوع میتوان با دید محکمتری به این نظریه نگاه کرد و چه بسا در محاسبهی سایر کمیتها نیز از آن استفاده نمود.
