با بهره گرفتن از حل ناویر میدان های جابجایی به صورت زیر در نظر گرفته می شوند:

(‏۳‑۵۹)

با جایگذاری روابط (۷۳) در معادلات بی بعد شده ی (۶۰-۶۴) مسئله تبدیل به یک مسئله ی مقدار ویژه خواهد شد که حل آن با توجه به روش های موجود براحتی انجام خواهد شد.

حل عددی

روش عددی GDQ

انتخاب یک روش حل عددی مناسب در دقت و کیفیت جواب­های تولید شده تأثیر بسزایی دارد. همچنین، انتخاب یک روش خوب می ­تواند به طور چشمگیری از زمان حل مسأله بکاهد. در این بین، روش عددی GDQ از مزیت­های چشمگیری برخوردار است؛ چرا که با وجود در نظر گرفتن تعداد نقاط گسسته سازی بسیار کمتر از روش اجزاء محدود، جواب­هایی بسیار دقیقتر از روش تفاضل محدود تولید می­ کند. بنابراین، انتخاب این روش به عنوان روشی سریع که از دقت بالایی نیز برخوردار است، به نظر تصمیمی منطقی می‏باشد. به همین دلیل، روش GDQ به عنوان یک روش عددی مناسب برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل ارائه شده در فصل قبل انتخاب شده است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

همانند هر روش عددی دیگری، GDQ هندسه مسأله را گسسته سازی می­ کند و مجهولات مسأله را به عنوان توابعی از مقادیر مجهول در نقاط گسسته­سازی شده تعریف می­ کند. این روش، تابع و مشتقات آن را به صورت جمع خطی وزنی مقادیر تابع در تمامی نقاط گسسته سازی تعریف می­ کند. همین نکته باعث می­ شود که این روش از روش های مشابه دقیق­تر باشد.
ریچارد بلمن^[۴۸] در سال ۱۹۷۲ برای اولین بار ایده روش DQ را مطرح کرد [۴۶] و از آن پس، این روش شروع به پیشرفت و شکوفایی کرد. بلمن از دو روش برای پیدا کردن ضرایب وزنی^[۴۹] استفاده کرد. در روش اول، یک تابع ساده به عنوان تابع وزنی انتخاب شد، اما مشاهده شد که با بهره گرفتن از چنین تابعی، ماتریس ضرایب در تعداد نقاط گسسته سازی زیاد (برای مثال بیش از ۱۳ نقطه) دچار مشکل شده و در نتیجه جواب­ها در چنین حالتی واگرا می­شوند. روش دوم او نیز همانند روش اول بود، با این تفاوت که در این روش، نقاط گسسته سازی با بهره گرفتن از ریشه ­های معادله مرتبه N لژاندر انتخاب می­شدند.
شو^[۵۰][۴۷] با ارائه یک سری مقالات، روش DQ پیشنهاده شده را تعمیم داد. تغییر اساسی که او در این روش ایجاد کرد، در نحوه مواجهه با شرایط مرزی است. اخیراً، وو در مقاله­ای[۴۸] روش مربعات تفاضلی تعمیم یافته (GDQ) را پیشنهاد داده است که در این پژوهش نیز به کار گرفته شده است.
نکته پیچیده استفاده از این روش مواجهه با شرایط مرزی مسأله است. زمانی که تنها یک شرط مرزی در هر تکیه­گاه وجود داشته باشد، مشکلی با اعمال شرایط مرزی ,وجود ندارد، اما در صورت وجود شرایط مرزی اضافی باید روش خاص دیگری اتخاذ شود که در این مورد چهار راه حل گوناگون پیشنهاد شده است.
روش اول که توسط برت و همکارانش [۴۹] پیشنهاد شده است، شرط مرزی هندسی را به خود گره مرزی اعمال کرده و شرط مرزی نیرویی را به نقطه­ای با اختلاف بسیار جزئی از مرز اعمال می­ کند. بنابراین، با بهره گرفتن از این نگرش، نمی­ توان شرط مرزی نیرویی را به طور دقیق در گره مرزی اعمال کرد. دقت این روش، به میزان زیادی وابسته به انتخاب درست اندازه پارامتر  است و برای شرایط مرزی لولا جواب‏هایی­ با خطای نسبتاً زیاد تولید می­ کند.
روش دوم که توسط ونگ و برت [۵۰] ارائه شده است، با اصلاح ماتریس ضرایب سعی می­ کند که شرایط مرزی نیرویی را خودبه­خود ارضاء کند. این روش، اگرچه به نظر مطلوب می ­آید، اما به دلیل لزوم تغییر تابع وزنی برای هر شرط مرزی، روشی بسیار طاقت فرسا می­باشد. ضمن اینکه این روش قادر به حل شرایط مرزی گیردار و آزاد نمی ­باشد.
روش سوم که توسط شو و دو [۵۱] توضیح داده شده، به جایگزینی شرایط مرزی به جای معادلات حاکم در گره­های مرزی می ­پردازد. این روش با اعمال مستقیم شرایط مرزی از دقت بسیار بالایی برخوردار بوده و برای تمامی شرایط مرزی قابل استفاده است. به همین دلیل، در این پروژه از این روش استفاده شده است.
روش آخر به حل توأمان شراط مرزی و معادلات حاکم می ­پردازد [۵۲]. این روش برای مسائل ارتعاشی و برای هر نوع ترکیبی از شرایط مرزی قابل استفاده می­باشد، ولی جواب­های حاصل از آن، در مقایسه با سایر روش­ها، از دقت بالایی برخوردار نیستند.
همان­گونه که بیان شد، مسأله اساسی در روش مربعات تفاضلی تعمیم یافته، تعریف مشتقات تابع در هر نقطه، به عنوان جمع وزنی مقادیر تابع در تمامی نقاط است. در این روش، با پیشنهاد کوآن و چانگ [۵۳]، تابع چند جمله­ای میان­یاب لاگرانژ^[۵۱] برای غلبه بر مشکلات موجود در روش DQ به کار گرفته شده است. بنابراین، برای مشتقات تابع در هر نقطه داریم:
الف) f تابعی از x

(‏۳‑۶۰)

ب) f تابعی از x و y

(‏۳‑۶۱)

(‏۳‑۶۲)