برای هر (A,B ∈ K(X اگرA = B باشد، آن اه بدیه است که ۰=(dH(A,B. از طرف دی ر فرض م کنیم
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
dH(A,B) = 0 ⇒ inf{δ : A ⊆ N(B,δ) ∧ B ⊆ N(A,δ)} = ۰.
بنابراین برای هرn ، داریم . پس برای هرx ∈ A ، م توانیمxn ∈ B را طوری انتخاب کنیم که . چونB ی مجموعه بسته است لذاx ∈ B . در نتیجهA ⊆ B . به روش مشابه م توان نشان داد
.B ⊆ A که
نشان م دهیم (dH(A,B) = dH(B,A. طبق تعریف متر هاسدورف داریم
d A,B { A ⊆ N B,δ B ⊆ N A,δ }
٣.٢. سیستمهای ت رار توابع
فرض م کنیم (C ∈ K(X، نشان م دهیم (dH(A,C) ⩽ dH(A,B) + dH(B,C. برای این منظور فرض
م کنیم که اگرdH(A,B) < δ و ′dH(B,C) < δ، آن اه واضح است که
CA ⊆ N⊆ N((C,δA,δ ++δδ′′)).,
در نتیجه طبق تعریف متر هاسدورف داریم ′dH(A,C) ≤ δ + δ، و این ایجاب م کند که
dH(A,C) ⩽ dH(A,B) + dH(B,C).
گزاره ٣.٢.۶. اگر (X,d) ی فضای متری کامل و ی دنباله کش درX باشد برای هرN ∈ N دنبالهxn}n≥N } وجود دارد بهطوریکه
xn ∈ An, d(xn,xn+1) < ۲−n.
هر دنباله مانند فوق درX کش م باشد و به نقطهای مانندx ∈ X هم راست. بهعلاوه
d(xn,x) < ۲−n+1 ; ∀n ∈ N
برهان. از آنجای کهAi ها زیر مجموعه های فشرده و ناته هستند پس برای هرN ∈ N ی دنبالهیxn}n≥N }درX وجود دارد، بهطوریکهxn ∈ An و طبق تعریف
d(xn,xn+1) < dH(An,An+1) < ۲−n.
اگر ۰ε > باشد، یN ∈ N وجود دارد بهطوریکهN < ε −۲. بنابراین اگرN < m < n داریم
بنابراین دنبالهیxn}n≥N } ی دنباله کش درX است و به نقطهای مانندx هم را م باشد. زیرا با بهکارگیریدوباره از نامساوی مثلثk برای هرn ≥ lN داریم
d ⩽ d d −
قضیه ٣.٢.٧. اگر (X,d) ی فضای متری کامل باشد، آن اه (K(X),dH) نیز ی فضای متری کامل است.
کهdH متر هاسدورف تولید شده توسطd م باشد.
برهان. فرض کنید ی دنبالهی کش در فضای (K(X باشد. یعنε > ۰ ∃N ∈ N s.t. ∀m,n > N : dH(An,Am) < ε.∀
اکنون م توانیم ی زیر دنباله از را طوری اختیار کنیم کهdH(An,An+1) < ۲−n ، در نتیجه
AAnn+1⊆ N(An+1n,2−−nn)),.
⊆ N(A ,2
٣۴
فرض م کنیمA ، مجموعهی تمام حدود زیر دنبالهای از دنباله های ۱⩾xn}n} باشد کهxn ∈ An هستند و
d(xn,xn+1) < ۲−n . بنابراین با توجه به تعریفA و بنا به گزاره ۶.٢.٣ ، چنین دنباله های هم را م باشند
و برای هرn ، اگرx ∈ A باشد، آن اهxn ∈ An وجود دارد بهطوریکه ۱+d(xn,x) < ۲−n. پس
(١.٣) .(۱+A ⊂ {x ∈ A : d(xn,x) < ۲−n+1 for some xn ∈ An} = N(An,2−nلذا نتیجه م گیریم کهA کراندار است و (A ∈ K(X. حال فرض کنید ۰ε > . بنابراین برایN ∈ N داریم۰ >ε > ۲−N . قرار م دهیم ۱+n > N . حال طبق گزاره ۶.٢.٣ برای هرxn ∈ An وجود داردx ∈ X که
۱+d(xn,x) < ۲−n. بنابراین
An ⊂ {xn ∈ An : d(xn,x) < ۲−n+1 forsome xn ∈ A ⊆ X} = N(A,2−n+1).
طبق رابطه (١.٣) داریمdH(An,A) < ۲−n+1 < ε . بنابراین دنبالهی در متری هاسدورفهم راست.
نمادگذاری: سیستم (IFS(X,F را در نظر م گیریم. فرض م کنیمK مجموعه تمام زیرمجموعههای فشرده وناته ازX باشد. تبدیلL را برای سیستم (IFS(X,F بهصورت زیر تعریف م کنیم(٢.٣) ,L : K → K
که برای هر مجموعهE ∈ K داریم (L(E) = i∪=۱k fi(E.
تعریف ٣.٢.٨. مجموعهA نسبت بهL پایاست اگر (A = L(A باشد.
قضیه ٣.٢.٩. فرض کنیدD ⊆ Rn وd ی متری روی آن باشد بهطوریکه (D,d) فضای متری کامل است.
مجموعه {S = {S1,S2,…,Sk از توابع انقباض رویD را در نظر ب یرید. برای سیستم (IFS(D,S یمجموعهی پایای ی تا مانندF وجود دارد بهطوریکه
∀E ∈ K , nlim→∞ Ln(E) = F.
برهان. با توجه به قضیه ٧.٢.٣ ، هن ام کهD ی فضای متری کامل است پس فضای (K(D),dH) نیز یفضای متری کامل است. همچنینL یk k ن اشت انقباض روی (K(D م باشد. زیرا
dH(L(A),HL(Bi )) = diH(i∪=۱ Si(A), i∪=۱ Si(B))
≤ ۱max≤i≤k d (S (A),S (B))
≤ (۱max≤i≤k Ci)dH(A,B)
≤ dH(A,B).
چون ن اشتهایSi انقباض هستند و داریم ۱ <maxi k Ci ۱ < ۰، بنابراین با توجه به قضیه نقطهی ثابت باناخ،
≤ ≤
مجموعهی ی تای مانندF متعلق به (K(D وجود دارد بهطوریکهL(F) = F . و طبق همین قضیه برای هر
داریمE ∈ K(D)
nlim Ln(E) = F.
