فصل سوم
مبانی تئوری
3- فصل سوم: مبانی تئوری
3-1- مقدمه
ابزارهای طراحی به کمک کامپیوتر^[83] در مهندسی برای طراحی سیستمهای سازهای پیشرفته مورد استفاده قرار میگیرد. تکنیکهای شبیهسازی محاسباتی^[84] در این ابزارهای طراحی، اغلب با داشتن بارگذاریها، شرایط اولیه و مرزی، شکل هندسی، خواص ماده و غیره به عنوان ورودی به محاسبه جابجاییها، تغییر فرمها، کرنشها، تنشها، فرکانسهای طبیعی، مودهای ارتعاشی و غیره به عنوان خروجی میپردازد. این نوع از مسائل، مسائل مستقیم (کلاسیک)^[85] نامیده میشوند و اغلب به وسیله معادلات دیفرانسیل معمولی یا جزئی^[86] با متغیرهای مجهول میدانی^[87] حل میشوند. در مسائل مکانیکی، متغیرهای میدان، اساساً جابجاییها هستند. در حقیقت حل یک مسأله مستقیم، حل معادلات دیفرانسیل معمولی و یا جزئی با شرایط اولیه و مرزی معلوم است. روش تفاضل محدود^[88] ، روش المان محدود^[89] ، روش المان نواری^[90] ، روش المان مرزی^[91] [79]، روش ترکیبی المان محدود و المان مرزی^[92] [80] و روش های بدون مش^[93]  از جمله پرکاربردترین فرآیندهای حل مسائل مستقیم، خصوصاً فرآیندهای محاسباتی و عددی به شمار میروند. نوعی دیگر از اغلب مسائل کاربردی که با آنها روبرو میشویم، مسائل معکوس^[94] نامیده میشوند. در یک مسأله معکوس پارامترهایی از خروجی سیستم نظیر سرعت، شتاب، فرکانسهای طبیعی و غیره ممکن است معلوم باشند (به طور مثال از طریق آزمایشات تجربی) اما از سوی دیگر پارامترهایی از ورودی سیستم نظیر بارگذاری، خواص ماده، هندسه سازه، شرایط مرزی و یا ترکیبی از این پارامترها مجهول هستند و نیاز است که آنها را بدست آورد. بسیار واضح است که دستیابی به حل اینگونه از مسائل در بسیاری از مسائل کاربردی مهندسی بسیار مفید خواهد بود.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

3-2-روند کلی حل یک مسأله معکوس
لیو و هان^[95] [10] در کتاب خود، روند کلی حل یک مسأله معکوس را بیان کردهاند که در شکل (3-1) و در ادامه آن به صورت خلاصه مرور میشوند.

3-2-1-تعریف مسأله
با بهره گرفتن از یک تحلیل و مرور بر هدف، منابع و زمان، هدف و منظور از انجام مسأله تعریف میشود. یک استراتژی کلی و برنامه عملی بایستی برای اجرای مراحل بعدی، تعیین گردد. تلاشها بایستی در راستایی قرار بگیرند که اولاً تعداد مجهولاتی که قرار است در طی فرایند معکوس محاسبه شوند را کاهش دهد و ثانیاً تمام پارامترها را در کوچکترین ناحیه ممکن، محدود کند. بدین ترتیب با کاهش بدنهادگی^[96] مسأله، شانس حل موفق مسأله و دقت حل آن افزایش خواهد یافت.
3-2-2-ارائه مدل مستقیم
یک مدل فیزیکی برای بیان مسألهی تعریف شده، باید مورد استفاده قرار گیرد. این مدل باید به گونهای باشد که خروجی های آن تا حد امکان نسبت به پارامترهایی که از مسأله معکوس محاسبه خواهند شد، حساس باشند. همچنین بایستی دقت شود که هر کدام از پارامترهای مسأله معکوس به طور جداگانه بر خروجی مسأله مستقیم اثرگذار باشند. با در نظر گرفتن شرایط بیشتر میتوان به بهبود وضعیت مسأله معکوس کمک کرد. روش های معمول برای حل مسأله مستقیم شامل روش های ریاضی-تحلیلی، روش های آزمایشگاهی و روش های عددی مانند المان محدود، تفاضل محدود، المان مرزی، بدون المان و غیره میشوند. معمولاً از روش های آزمایشگاهی به دلیل هزینه بالا در حل مسأله مستقیم استفاده نمیشود.
3-2-3-محاسبه حساسیت بین خروجی ها و پارامترها
اطمینان از برقراری حساسیت میان خروجی ها و پارامترهایی که قرار است از طریق روش معکوس حاصل گردند، از مهمترین و مؤثرترین راهکارهایی است که میتواند باعث کاهش بدنهادگی در مسأله معکوس شود. تحلیل حساسیت بایستی با بهره گرفتن از مدل مستقیم ساخته شده و بدون انجام آزمایش که ممکن است هزینهبر و گران باشد، انجام شود. براساس تحلیل حساسیت صورت گرفته، ممکن است تغییراتی در مدل مستقیم و یا پارامترهای مسأله معکوس ایجاد شود.
3-2-4-طراحی آزمایش
پیش از انجام آزمایش، بایستی داده های خروجی آزمایش (که به عنوان ورودی مسأله معکوس در نظر گرفته خواهند شد)، تجهیزات لازم برای اندازه گیری و تعداد نمونهبرداریها مشخص شوند. تعداد اندازهگیریها بایستی از تعداد مجهولات مسأله معکوس بیشتر باشند تا در این صورت با مسأله فرانهاده^[97] روبرو شویم. یک سیستم فرانهاده معمولاً میتواند به طور چشمگیری بدنهادگی در مسأله معکوس را کاهش دهد. یک مسأله فرانهاده به طور معمول میتواند داده های آزمایشگاهی را که حاوی خطای زیادی هستند را اصلاح کند و منجر به حل مسأله شوند.
3-2-5-کمینه کردن خطای اندازه گیری
بدیهی است که وجود خطا در داده های آزمایشگاهی که به عنوان ورودی مسأله معکوس بکار گرفته میشوند، باعث ایجاد خطا در پاسخ مسأله خواهد شد. در صورتی که مسأله بدنهاده باشد، وجود خطا در داده ها باعث ایجاد خطای به مراتب بزرگتر در پاسخ خواهد شد و حتی میتواند باعث ناپایداری پاسخ مسأله شود. فیلترهای طراحی شده مناسب میتواند به منظور فیلتر کردن خطاها قبل از استفاده از داده ها به عنوان ورودی مسأله معکوس، مورد استفاده قرار گیرند. اصل کلی در استفاده از فیلتر این است که برای فیلتر کردن تمام خطاهایی که دارای فرکانس بالاتری نسبت به فرکانس خروجی مسأله هستند، بایستی از یک فیلتر پایینگذر^[98] استفاده شود. فرکانس خروجی های مسأله را اغلب میتوان با بهره گرفتن از حلگر مستقیم^[99] حدس زد.
3-2-6-بکارگیری فرمولبندی معکوس
در صورتی که مسأله را بتوان به شکل ماتریسی صریح^[100] بیان کرد، با بهره گرفتن از معکوس این ماتریس میتوان به پاسخ مسأله دست یافت. برای سیستمهایی که نمیتوان آن را به شکل ماتریسی صریح بیان کرد، همیشه میتوان از یک تابع خطای^[101] فرمولبندی شده براساس یک معیار^[102] مناسب بهره جست و در ادامه میتوان با بهره گرفتن از روش های بهینه سازی (کمینهسازی)^[103] به کمینه کردن خطای معیار و به دنبال آن به پاسخ مسأله دست یافت. روش های هموارسازی^[104] مناسب را میتوان برای مسائل بدنهاده بکار برد. روش های هموارسازی برای بدست آوردن پاسخ پایدار در مسائل بدنهاده بسیار مهم هستند. در بسیاری از حالات، هموارسازی آخرین راهکار برای غلبه بر بدنهادگی مسأله به شمار میرود.
3-2-7-بازبینی پاسخ
واضح است که اطمینان از اینکه پاسخ بدست آمده از روش معکوس دارای معنای فیزیکی باشد، مهم و ضروری است. در همین راستا بایستی از همه روش های محتملی که بتواند قضاوت مناسبی از صحت پاسخ بدست آمده داشته باشند، بهره جست. یکی از راهکارهای مناسب و قابل قبول این است که بتوان از پاسخهای بدست آمده از روش معکوس به ورودی مسأله معکوس آن رسید. این راهکار را امکان بازساخت ورودی^[105] مینامند. در صورتی که پاسخ بدست آمده قانع کننده نباشد، بایستی استراتژی روش معکوس و آزمایشها را اصلاح کرد. این مراحل تا زمانی که به پاسخ مناسب دست یابیم، ادامه خواهد داشت.
3-3-مفاهیم اساسی مسائل معکوس
همانگونه که اشاره شد بسیاری از مسائلی که در مهندسی با آن مواجه میشویم را نمیتوان به روش مستقیم حل کرد. اینگونه از مسائل را میتوان به کمک روش معکوس حل کرد. روش حل يک مسأله معکوس با توجه به حالت دائمي يا گذرا، خطي يا غيرخطي بودن معادلات و غیره متفاوت است و براي هر دسته از الگوريتم خاصي استفاده مي‌شود. بنابراین آگاهی از انواع مسائل معکوس و مشکلاتی که ممکن است در روند حل یک مسأله معکوس با آن روبرو شویم، میتواند به ما در راستای دستیابی به یک حل مطمئن و دقیق کمک قابل توجهی به شمار رود. يکي از مشکلات عمده در حل مسائل معکوس بدنهاده بودن اين دسته از مسائل است. لیو و هان [10] پدیده بدنهادگی مسائل معکوس را به سه دسته مسأله بدنهاده دستهبندی کردهاند که در ادامه به آنها اشاره خواهد شد. از طرفی مسائل معکوس را میتوان از این منظر که تعداد معلومات و مجهولات آن چقدر باشند، به سه دسته زیر تقسیم بندی کرد:

• • مسائل همنهاده^[106]: به مسائلی گفته میشود که در آن تعداد مجهولات و تعداد معلومات با یکدیگر برابر است.

• • مسائل فرونهاده^[107]: به مسائلی گفته میشود که در آن تعداد مجهولات بیشتر از تعداد معلومات است. در اینگونه از مسائل، میتوان بسیاری از استراتژیهای معکوس دیگر را بکار برد. نکته کلیدی در اینجا این است که مسأله دارای پاسخ یکتا نخواهد بود و نمیتوان همیشه به پاسخ آن اعتماد کرد. در حقیقت، این مشکل یکی از عوامل ایجاد بدنهادگی در مسائل معکوس به شمار میرود. مسائل معکوسی که دارای اینگونه بدنهادگی باشند را مسائل بدنهاده نوع مینامند. در یک مسأله بدنهاده نوع ، تلاش برای یافتن اطلاعات بیشتر از سیستم، قابل اعتمادترین روش برای دستیابی به یک پاسخ دقیق به شمار میرود. نکته قابل توجه این است که بدنهادگی نوع در مسائل مستقیم نیز دیده میشود. یک مسأله فرونهاده همیشه بدنهاده است.

• مسائل فرانهاده: به مسائلی گفته میشود که در آن تعداد مجهولات کمتر از تعداد معلومات است. نکتهای که بایستی بدان توجه داشت این است که مسائل فرانهاده نیز میتوانند بدنهاده باشند.