پله کلیدی در پیش بینی حرکات پی و در نتیجه عکس العمل دینامیکی تمام سازه، ارزیابی ماتریس توابع دینامیکی امپدانس برای یک پی بدون جرم صلب، هنگامی که تحت تأثیر یک بار هارمونیک با فرکانس قرار گرفته باشد، است.
( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
شکل ۴-۲ نمایش شماتیک اندرکنش خاک-پی-سازه بصورت شماتیک، فقط برای تحریک قائم
(Yang & Hong, 2009)
در واقع توابع امپدانس دینامیکی خاک اطراف پی را با تعدادی فنر و میراگر برای حرکات مختلف پی، شبیه سازی می کنند. همانطور که در شکل ۴-۲ نیز پیداست، برای تحریک قائم، اثر خاک اطراف پی توسط یک فنر که نمایانگر سختی خاک و یک میراگر که نمایانگر استهلاک انرژی در خاک است، مدل سازی شده است.
در روش های تحلیلیای که برای محاسبه توابع امپدانس برای پی نواری با عرض در نیم فضای الاستیک، در حالت دو بعدی توسط (Luco & Westmann, (1972 و (Oien, (1971 ارائه شده اند، سه نوع بارگذاری مطابق شکل ۴-۳ در نظر گرفته شده است. دراین مدل بار هارمونیک قائم، بار هارمونیک افقی و لنگر هارمونیک به پی صلب بدون جرم، اعمال می شود و جابجاییهای پی تحت اعمال این بارها در فرکانس بار وارده تعیین می شود. در واقع با یک مسئله حالت ماندگار[۴۴] روبرو هستیم.
۲B
شکل ۴-۳ پی نواری صلب بدون جرم روی نیم فضا و نیروها و لنگر مؤثر بر آن در حالت دو بعدی (Kim, 1999)
نیروهای هارمونیک افقی، قایم و لنگر هارمونیک در فرکانس به ترتیب به صورت زیر هستند.
(۴-۳)
در رابطه (۴-۳) عباراتی که دارای زیرنویس هستند، بزرگی بار و لنگر وارد بر واحد طول هستند. جابجاییهای ناشی از این بارگذاریها که جابجایی افقی، جابجایی قائم و دوران حول محور عمود بر صفحه است، به ترتیب به شرح زیر هستند.
(۴-۴)
که عبارات با زیرنویس ، بزرگی جابجایی یا دوران هستند. ارتباط بین جابجاییها و نیروها طبق رابطه (۴-۵) بیان می شود.
(۴-۵)
رابطه (۴-۵) را در فرم فشرده به صورت زیر میتوان نوشت.
(۴-۶)
که در روابط بالا، زیر نویس مربوط به حرکات صلب پی و مدول برشی برای مصالح نیمفضا است. ترمهای بیبعد نرمی که در ماتریس ظاهر شده اند تابعی از ضریب پوآسون و عدد بیبعد فرکانس هستند. نرمی بیبعد برای حالت قائم است. همانطور که در رابطه (۴-۵) ملاحظه می شود، این ترم هیچ وجه اشتراکی با ترمهای دیگر ندارد. دو ترم دیگر و که به ترتیب نرمی بیبعد برای حالت افقی و چرخش هستند. نرمی که با نرمی برابر است و نشان دهنده ارتباط حرکات افقی و چرخش میباشد و آن را نرمی کوپلینگ هم مینامند. عدد بیبعد فرکانس به صورت رابطه ۴-۷ تعریف می شود.
(۴-۷)
که سرعت موج برشی و نصف عرض پی، مطابق شکل ۴-۳ است.
نحوه بدست آوردن ماتریس نرمی طبق روش Dasgupta & Chopra, (1977)، بطور کامل بررسی خواهد شد. برای رسیدن به ماتریس نرمی کل، ابتدا لازم است که نرمیهای نقاط اطراف پی را بدست آوریم.
در بخش ۴-۲، صحت قسمت المان محدود برنامه بررسی شد و ملاحظه شد که نتایج برنامه و نرمافزار تجاری آدینا از تقریب خوبی برخوردار بودند.
اما به منظور کنترل صحت برنامه نوشته شده که شامل المان محدود برای تحلیل میدان نزدیک و المان نامحدود برای تحلیل میدان دور است، به مقایسه مقادیر حاصله از برنامه و مقادیر ارائه شده توسط داسگوپتا و چوپرا، برای نرمیهای نقاط اطراف پی میپردازیم.
۴-۴ مدل سازی با ترکیب روش های المان محدود و المان نامحدود.
۴-۴-۱ مقدمه
همانطور که در قبل هم اشاره شد روش المان محدود جهت تحلیل مسائلی که از لحاظ ابعادی محدود هستند بکار میرود. اما بسیاری از مسائل مهندسی هستند که به نحوی با حوزه های بینهایت سر و کار دارند. بررسی اندرکنش دینامیکی خاک-سازه از بارزترین مثالها برای این موضوع است.
۴-۴-۲ کنترل صحت ترکیب روشهای المان محدود و المان نامحدود.
در این بخش برای بررسی صحت عملکرد برنامه نوشته شده، مثالی را که
Dasgupta & Chopra, (1977) در مطالعه خود با روشی نیمه تحلیلی بررسی کرده اند، با نتایج حاصل از ترکیب روشهای المان محدود و المان نامحدود مقایسه میکنیم. از این مثال (Zhang & Zhao, 1987; Yerli, et al., 1999) نیز برای ارزیابی مطالعهشان استفاده کرده اند.
۴-۴-۳ مثال پی ویسکوالاستیک تحت بارگذاری هارمونیک یکنواخت.
در این مثال یک نیمفضای نیمه بینهایت تحت اعمال بار هارمونیک با بزرگی واحد قرار میگیرد. شبکه بندی المان محدود و المان نامحدود برای این مسئله در شکل ۴-۴ قابل ملاحظه است. مشخصات مصالح به شرح زیر هستند.
یرلی برای ، ضریب استهلاک دامنه موج در روش المان نامحدود مقدار را پیشنهاد کرده است. بنظر میرسد که این مقدار یک راز است و باید کشف شود! (چون در مقاله مربوطه هیچ اشارهای به آن نشده است). بعد از کمی تحقیق به این نتیجه رسیدیم که این مقدار برابر است با . که یکی از سه مقداری است که برای ضریب در نظر گرفته می شود. البته توضیحات مربوط به آن بطور مفصل در فصل سوم بررسی شده است.
شکل ۴-۴ شبکه بندی پی ویسکوالاستیک نیمه بینهایت (Zhang & Zhao, 1987)
این مسئله برای عدد بیبعد فرکانس مساوی یک حل شده است . عدد بیبعد فرکانس بصورت تعریف شده که عرض حوزه بارگذاری است.
در حل این مثال ، انتخاب شده است. متأسفانه یرلی در مقاله خود هیچ توضیحی در مورد روابط (۴-۸) نداده است. روابط (۴-۸) از روش داسگوپتا و چوپرا بدست آمدهاند و نرمیهای نقاط شمارهگذاری شده یا نمونه برداری در شکل ۴-۴ هستند.
(۴-۸)
و نرمیهای بیبعد پی در جهات و بوده و شماره نقاطی است که نرمی در آنها محاسبه می شود که در شکل ۴-۴ هم نشان داده شده است و در نهایت مدول برشی مصالح است.
دقت شود که در بالانویسهای و در رابطه ۴-۸، اندیس دوم مربوط به جهت بارگذاری و اندیس اول مربوط به جهت جابجایی محاسبه شده است. جزئیات مربوط به این روند در بخش ۴-۵-۱ بطور مفصل بررسی می شود.
نتایج برنامه برای مثال فوق برای قسمت حقیقی نرمی بیبُعد و قسمت موهومی آن در هشت نقطه در سمت راست و هشت نقطه در سمت چپ پی برای دو نوع بارگذاری قائم و افقی در شکلهای ۴-۵ تا ۴-۱۰ نشان داده شده است.
همانطور که در فصل سوم به دو دیدگاه در روش المان بینهایت اشاره کردیم، در حل این مثال از سه روش استفاده شده است. در دو روش اول از المان بینهایت با دوازده و چهار نقطه انتگرال گیری در جهت نامحدود استفاده شده که به ترتیب با ۳W12P و ۳W4P نام گذاری شده اند. اما در روش سوم از المان بینهایت با یک نوع موج استفاده شده که در آن محیط مسئله به قسمتهای مختلف تقسیم شده است. این روش ۳S4P نام گذاری شده است.
متأسفانه یا خوشبختانه مدت زمان زیادی برای دستیابی به جوابهای دقیق و خطا زدایی برنامه صرف شد. یکی از این عوامل، برنامه نویسی انتگرالگیری عددی به روش نیوتن-کوتس برای حالت سه نوع موج بود. متأسفانه (Zhao & Valliappan, 1993; Yerli, et al., 1998) رابطه نادرستی را از لحاظ اندیسی برای این تکنیک انتگرالگیری ارائه کرده اند. در اواخر این فصل نحوه انتگرالگیری صحیح برای حالت سه نوع موج توضیح داده شده است.
همانطور که در فصل قبل تئوری روش انتگرالگیری عددی نیوتن-کوتس اشاره شد،
Chow & Smith, (1981) در مقاله خود به استفاده از چهار نقطه نمونه گیری در جهت بینهایت المان نامحدود اشاره کرده اند. برای حل این مثال، اوائل از همان چهار نقطه استفاده شد، ولی دقت جوابهای حاصله مناسب نبود. در برنامهای که در نرم افزار Mathematica نوشته شد، تعداد نقاط انتگرالگیری با فاصله یک چهارم تا دوازده نقطه افزایش داده شد. این افزایش تعداد نقاط، جوابهای برنامه را به جوابهای داسگوپتا و چوپرا بسیار نزدیک کرد. تئوری این الگوریتم در انتهای این فصل بررسی خواهد شد.
توجه شود که در اشکال ۴-۵ تا ۴-۱۰، قسمت حقیقی و موهومی نرمیهای بیبعد در حالات ، و ، که اندیس اول مربوط به جهت بارگذاری و اندیس دوم جهت جابجایی است، برای ارائه شده است. در این اشکال نتایج مربوط به سه روش مختلف با نتایج حل نیمه تحلیلی مقایسه شده است. نتایج مربوط به حل نیمه تحلیلی (Dasgupta & Chopra, 1977) با دایره، نتایج مربوط به حالات سه نوع موج با دوازده و چهار نقطه انتگرال گیری به ترتیب با خط-مربع و علامت بعلاوه(+) و نتایج مربوط به روش آخر با علامت ستاره(*) نشان داده شده است.
